傳染病傳播的數學模型上課(編輯修改稿)
2025-05-01 03:21 本頁面
【文章內容簡介】 完全痊愈的任何人具有長期免疫力，不考慮反復受傳染的情形，并設傳染病的潛伏期很短，可以忽略不計，即一個人患了病之后立即成為傳染者。在這種情況下，把居民分成三類：第一類是由能夠把疾病傳染給別人的那些傳染者組成的，用I(t)表示t時刻第一類人數；第二類是由并非傳染者但能夠得病而成為傳染者的那些人組成的，用s(t)表示t時刻第二類人數；第三類包括患病死去的人，病愈后具有長期免疫力的人，以及在病愈并出現長期免疫力以前被隔離起來的人，用R(t)表示t時刻第三類人數。假設疾病傳染服從下列法則：(1) 在所考慮的時期內人口總數保持在固定水平N，即不考慮出生及其它原因引起的死亡，以及遷入遷出等情況；(2) 易受傳染者人數s(t)的變化率正比于第一類的人數I(t)與第二類人數s(t)的乘積；(3) 由第一類向第三類轉變的速率與第一類的人數成正比。由(1)、(2)、(3)條得微分方程組 (6)其中、為兩個比例常數，為傳染率，為排除率。由(6)式的三個方程相加得 則 （人口總數）故 （7）由此可知，只要知道了s(t)和I(t)，即可求出R(t)。而(6)式的第一和第二個方程與R(t)無關。因此，由 （8）得 ， 。當時，，記，有 （9）下面討論積分曲線(9)的性質。由(8)式知 所以當時，I(s)是s的增函數，時，I(s)是s的減函數。 由連續(xù)函數中間值定理及單調性知，存在唯一點， 使得。而當時，I(s) 0。由(7)知I = 0時。所以為方程組(7)的平衡點．當時，方程(9)當t由t變化到時，點(s(t),I(t))沿曲線(9)移動，并沿s減少方向移動，因為s(t)隨時間的增加而單調減少。因此，如果小于，則I(t)單調減小到零，s(t)單調減小到。所以，如果為數不多的一群傳染者分散在居民中，且，則這種疾病會很快被消滅。由上分析可以得出如下結論： 如果，則隨著s(t)減小到時，I(t)增加，且當時，I(t)達到最大值。當時，I(t)才開始減小。由以上分析可以得出如下結論：只是當居民中的易受傳染者的人數超過閾值 時傳染病才會蔓延。用一般的常識來檢驗上面的結論也是符合的。當人口擁擠、密度高，缺乏應有的科學文化知識，缺乏必要的醫(yī)療條件，隔離不良而排除率低時，傳染病會很快蔓延；反之，人口密度低，社會條件好，有良好的公共衛(wèi)生設施和較好的管理而排除率高
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