傳染病傳播的數(shù)學(xué)模型上課(編輯修改稿)
2025-05-01 03:21 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 完全痊愈的任何人具有長(zhǎng)期免疫力，不考慮反復(fù)受傳染的情形，并設(shè)傳染病的潛伏期很短，可以忽略不計(jì)，即一個(gè)人患了病之后立即成為傳染者。在這種情況下，把居民分成三類：第一類是由能夠把疾病傳染給別人的那些傳染者組成的，用I(t)表示t時(shí)刻第一類人數(shù)；第二類是由并非傳染者但能夠得病而成為傳染者的那些人組成的，用s(t)表示t時(shí)刻第二類人數(shù)；第三類包括患病死去的人，病愈后具有長(zhǎng)期免疫力的人，以及在病愈并出現(xiàn)長(zhǎng)期免疫力以前被隔離起來(lái)的人，用R(t)表示t時(shí)刻第三類人數(shù)。假設(shè)疾病傳染服從下列法則：(1) 在所考慮的時(shí)期內(nèi)人口總數(shù)保持在固定水平N，即不考慮出生及其它原因引起的死亡，以及遷入遷出等情況；(2) 易受傳染者人數(shù)s(t)的變化率正比于第一類的人數(shù)I(t)與第二類人數(shù)s(t)的乘積；(3) 由第一類向第三類轉(zhuǎn)變的速率與第一類的人數(shù)成正比。由(1)、(2)、(3)條得微分方程組 (6)其中、為兩個(gè)比例常數(shù)，為傳染率，為排除率。由(6)式的三個(gè)方程相加得 則 （人口總數(shù)）故 （7）由此可知，只要知道了s(t)和I(t)，即可求出R(t)。而(6)式的第一和第二個(gè)方程與R(t)無(wú)關(guān)。因此，由 （8）得 ， 。當(dāng)時(shí)，，記，有 （9）下面討論積分曲線(9)的性質(zhì)。由(8)式知 所以當(dāng)時(shí)，I(s)是s的增函數(shù)，時(shí)，I(s)是s的減函數(shù)。 由連續(xù)函數(shù)中間值定理及單調(diào)性知，存在唯一點(diǎn)， 使得。而當(dāng)時(shí)，I(s) 0。由(7)知I = 0時(shí)。所以為方程組(7)的平衡點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，方程(9)當(dāng)t由t變化到時(shí)，點(diǎn)(s(t),I(t))沿曲線(9)移動(dòng)，并沿s減少方向移動(dòng)，因?yàn)閟(t)隨時(shí)間的增加而單調(diào)減少。因此，如果小于，則I(t)單調(diào)減小到零，s(t)單調(diào)減小到。所以，如果為數(shù)不多的一群傳染者分散在居民中，且，則這種疾病會(huì)很快被消滅。由上分析可以得出如下結(jié)論： 如果，則隨著s(t)減小到時(shí)，I(t)增加，且當(dāng)時(shí)，I(t)達(dá)到最大值。當(dāng)時(shí)，I(t)才開(kāi)始減小。由以上分析可以得出如下結(jié)論：只是當(dāng)居民中的易受傳染者的人數(shù)超過(guò)閾值 時(shí)傳染病才會(huì)蔓延。用一般的常識(shí)來(lái)檢驗(yàn)上面的結(jié)論也是符合的。當(dāng)人口擁擠、密度高，缺乏應(yīng)有的科學(xué)文化知識(shí)，缺乏必要的醫(yī)療條件，隔離不良而排除率低時(shí)，傳染病會(huì)很快蔓延；反之，人口密度低，社會(huì)條件好，有良好的公共衛(wèi)生設(shè)施和較好的管理而排除率高
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