【文章內容簡介】 果 ? ? ? ?sin 1a i i??則條件成立。 （三） 零 解是漸近穩(wěn)定的，當且僅當 ? ?01lim 0nn inai??? ??? ? ?2 2 8?? 這種情況清楚地認為，如果 ? ? 12iai i?? ? 。該解 是由 ? ? ? ? ? ?0 0 0 0, , 1 1x n n x n n x? ? ?決定的 。因此，零解是一致穩(wěn)定和漸近穩(wěn)定（全局），但不是一致漸近穩(wěn)定。 （四） 零解是一致漸近穩(wěn)定（從而指數(shù)穩(wěn)定），當且僅當 ? ? 001n nnin a i M?? ???? ? ?2 2 9?? 對于一些 0M? ， 01???。如果 ?? 1ai i? 這可能是成立的 。 定理 。在實線上有一個連續(xù)映射 f 吸引不穩(wěn)定的固定點。 為了方便定 理的證明，我們首先建立一個穩(wěn)定的 相對于獨立的結果 ，因為 f 不要求可微性。 定理 。一個固定的點 x? 的 連續(xù)映射 f 是漸近穩(wěn)定當且僅當有一個開區(qū)間 ? ?,ab 含 x?例如， ? ?2f x x? 的 a x x??? 和 ? ?2f x x? 的 x x b???。 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性 非自治線性系統(tǒng) 在這一小節(jié)中，我們調查的線性非自治的穩(wěn)定性（隨時間變化）系統(tǒng)。 ? ? ? ? ? ?1x n A n x n?? , 0 0nn?? ? ?2 3 1?? 我們假設 ??An對于 0nn? 是非退化的。 天津 職業(yè)技術師范大學 2020 屆 本科生 畢業(yè)論文 10 如果 ??n? 是任何基本矩陣系統(tǒng) ? ?2 3 1?? 或 ? ?2 3 6?? ，然后記得 ? ? ? ? ? ?1,n m n m?? ? ? ?作為轉變矩陣。在下面的結果，我們表達了穩(wěn)定矩陣 ??n? 系統(tǒng) ? ?2 3 1?? 的根本條件。 定理 ?？紤]系統(tǒng) ? ?2 3 1?? 。然后它的解 是 （一） 穩(wěn)定 的 當且僅當存在一個正的常數(shù) M，使得 ? ?nM??當 0 0nn?? ? ?232?? （二） 一致 穩(wěn)定的，當且僅當存在一個正的常數(shù) M，使得該 ? ?,n m M??當 0n m n? ? ?? ? ?2 3 3?? （三） 漸近穩(wěn)定的，當且僅當 ? ?lim 0n n?? ?? ? ?234?? （四） 一致漸近穩(wěn)定，當且僅當存在正常數(shù) M 和 ? ?0,1?? ，使得： ? ?, nmn m M? ???當 0n m n? ? ?? ? ?2 3 5?? 推論 。對于線性系統(tǒng) ? ?2 3 1?? 下面的結論成立 ： （ i）本零解是穩(wěn)定的，當且僅當所有的解是有界的。 （ ii）本零解是指數(shù)穩(wěn)定的，當且僅當它是 一致 漸近穩(wěn)定的。 推論 。 對于系統(tǒng) ? ?2 3 1?? ，每一個局部穩(wěn)定的零解意味著相應的全局穩(wěn)定。 定理 （ 1） 若 ? ?1 1ki ijan???， 1 jk??， 0nn? 則系統(tǒng) 的零解是 一致 穩(wěn)定的。 （ 2） 若 ? ?1 1ki ija n v?? ? ?，對于一些 0v? ， 1 jk??， 0nn? 那么零解是一致漸近穩(wěn)定的。 自治線性系統(tǒng) 在本小節(jié)中，我們專門對上一節(jié)的自治系統(tǒng)（時間不變）的結果 天津 職業(yè)技術師范大學 2020 屆 本科生 畢業(yè)論文 11 ? ? ? ?1x n Ax n?? ? ?2 3 6?? 在接下來的定理，我們概述線性自治系統(tǒng) ? ?2 3 6?? 的主要穩(wěn)定結果。 定理 。下面的結論成立 ： （ I） ? ?2 3 6?? 的零解是穩(wěn)定的，當且僅當 ? ? 1A? ? 和特征值的單位模量半單。 （ ii） ? ?2 3 6?? 的零解是漸近穩(wěn)定的，當且僅當 ? ? 1A? ? 。 在許多應用中需要明確的標準矩陣的條目特征值在單位圓內。因此，考慮矩陣 11 1221 22aaA aa??????? 其特征方程由下式給出 ? ? ? ?2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 0a a a a a a??? ? ? ? ? 或者 ? ?2 d e t 0trA A??? ? ? ? ?2 3 7?? 比較 ? ?2 3 7?? 與方程 2 120pp??? ? ? 其中 1p trA?? ， 2 detpA? ，我們可以 從 定理中知道條件 1210pp? ? ? ， 1210pp? ? ? ， 210p?? 是 ? ? ? ? ? ?1221y n p y n p y n M? ? ? ? ?和 ? ? ? ? ? ?122 1 0y n p y n p y n? ? ? ? ?的平衡點或者解是漸近穩(wěn)定的充分必要條件。 得出結論單位圓內的特征值當且僅當 1 det 0trA A? ? ?， 1 det 0trA A? ? ?， 1 det 0A?? ? ?2 3 8?? 或者，等價 1 det 2trA A? ? ? ? ?2 3 9?? 它如下所示的條件下 ? ?2 3 9?? 中，零解的方程 。 ? ? ? ?1x n Ax n?? 天津 職業(yè)技術師范大學 2020 屆 本科生 畢業(yè)論文 12 是漸近穩(wěn)定 的 。 定理 （穩(wěn)定的子空間（集成塊）定理）。如果 A 是一 條雙曲線，則下列說法成立： （一） 如果 ??xn是 ? ?2 3 6?? 的解在 ? ?0 sxW? 中，然后對于每個 n 中， ? ? sx n W? 。此外 ? ?lim 0n xn?? ? （二） 如果 ??xn是 ? ?2 3 6?? 的解 在 ? ?0 uxW? 中，然后 對于 每個 n 中， ? ? ux n W? 。此外 ? ?lim 0n xn??? ? 相空間分析 在本節(jié)中。我們 講研究二階線性自治系統(tǒng) （時間不變）的穩(wěn)定性。 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?1 11 1 12 22 21 1 22 211x n a x n a x nx n a x n a x n? ? ?? ? ? 或者 ? ? ? ?1x n Ax n?? ? ?2 4 1?? 當 11 1221 22aaA aa??????? 回想一下。 x? 是系統(tǒng) ? ?2 4 1?? 的一個平衡點。如果 Ax x??? 或者 ? ? 0A I x???。所以如果 ? ?AI? 是非奇異的。則 0x?? 是 ? ?2 4 1?? 這個一系統(tǒng)的唯一平衡點。另一方面，如果 ? ?AI? 是奇異的。則有一系列的平衡點。則如圖 28。在后者情況下我們把? ? ? ?y n x n x???代 到 ? ?2 4 1?? 得到系統(tǒng) ? ? ? ?1y n Ay n?? 則這是跟 ? ?2 4 1?? 是相同的系統(tǒng)。因此任何平衡點 0x?? 穩(wěn)定的性質與平衡點 0x?? 是相同的。此后，我們將假設0x?? 是系統(tǒng) ? ?2 4 1?? 的唯一平衡點。 讓 1J P AP?? 是 A 的 Jordan 標準型。則 J 具有下列的一種形式。 1200? ???????不同的實數(shù)特征值。 天津 職業(yè)技術師范大學 2020 屆 本科生 畢業(yè)論文 13 10? ???????相同的特征值。 ???????????共軛復數(shù)的特征值。 如果我們讓 ? ? ? ?1y n P x n?? 或 ? ? ? ?x n Py n? ? ?2 4 3?? 圖 28 121???? 漸近穩(wěn)定的節(jié)點 則系統(tǒng) ? ?2 4 1?? 就變成了 ? ? ? ?1y n Jy n?? ? ?244?? 如果 ? ? 00xx? 是系統(tǒng) ? ?2 4 1?? 的初始條件。則系統(tǒng) ? ?244?? 相應的初始條件就是? ? 1000y y P x??? 。所以我們就可以注意到系統(tǒng) ? ?2 4 1?? 和系統(tǒng) ? ?244?? 有相同的穩(wěn)定點性質。 線性漸近穩(wěn)定 天津 職業(yè)技術師范大學 2020 屆 本科生 畢業(yè)論文 14 ( 1 ) ( ) ( ) ( , ( ) )y n A n y n g n y n? ? ? ? ?2 5 1?? 它的線性分量為； ( 1) ( ) ( )z n A n z n??