傳染病傳播的數(shù)學(xué)模型上課-展示頁
2025-04-13 03:21本頁面
【正文】 雜的處理問題的方法。讀者通過下面的幾個不同領(lǐng)域中的模型介紹便有所體會，要想掌握好它，在這方面應(yīng)作大量的練習(xí)。所謂元素法，從某種角度上講，就是分析的方法，它是以自然規(guī)律的普遍性為根據(jù)并且以局部規(guī)律的獨立的假定為基礎(chǔ)。正如列寧所說：“自然界的統(tǒng)一性顯示在關(guān)于各種現(xiàn)象領(lǐng)域的微分方程式的‘驚人的類似中’．”（列寧選集第二卷，人民出版社1972年版第295頁）。微分方程模型[學(xué)習(xí)目的]1. 加深對微分方程概念的理解，掌握針對一些問題通過建立微分方程的方法及微分方程的求解過程；2. 了解微分方程模型解決問題思維方法及技巧；3. 領(lǐng)會建立微分方程模型的逐步改進(jìn)法的核心及優(yōu)點，并掌握該方法；4. 理解微分方程的解的穩(wěn)定性的意義，會用穩(wěn)定性判定模型的解是否有效；5. 體會微分方程建摸的藝術(shù)性。在自然學(xué)科（如物理、化學(xué)、生物、天文）以及在工程、經(jīng)濟(jì)、軍事、社會等學(xué)科中大量的問題可以用微分方程來描述。要建立微分方程模型，讀者必須掌握元素法（有關(guān)元素法，在高等數(shù)學(xué)中已有介紹）。在解決各種實際問題時，微分方程用得極其廣泛。167。由于人體的疾病難以控制和變化莫測，因此醫(yī)學(xué)中的數(shù)學(xué)模型較為復(fù)雜。以下僅討論傳染病的傳播問題。這一現(xiàn)象如何解釋呢？關(guān)于這個問題，醫(yī)學(xué)工作者試圖從醫(yī)學(xué)的不同角度進(jìn)行解釋都得不到令人滿意的解釋。同時又由于傳染病數(shù)學(xué)模型的建立，分析所得結(jié)果與實際過程比較吻合，這個現(xiàn)象才得到了比較滿意的解釋。如果還要考慮人員的遷入與遷出，潛伏期的長短以及預(yù)防疾病的傳播等因素的影響，那么傳染病的傳播就變得非常復(fù)雜。將所得結(jié)果與實際比較，找出問題，修改原有假設(shè)，再建立一個與實際比較吻合的模型。模型一 、 考慮最簡單的情形：假設(shè)(1)，每個病人在單位時間內(nèi)傳染的人數(shù)是常數(shù)；假設(shè)(2)，一人得病后，經(jīng)久不愈，并在傳染期內(nèi)不會死亡。則在時間內(nèi)增加的病人數(shù)為 于是得微分方程 (1)， 其解為 結(jié)果表明：傳染病的傳播是按指數(shù)函數(shù)增加的。但由方程(1)的解可以推出，當(dāng)時，這顯然是不符合實際情況的。特別是假設(shè)(1)，每個病人在單位時間內(nèi)傳染的人數(shù)是常數(shù)與實際不符。為了與實際情況吻合，我們在原有基礎(chǔ)上修改假設(shè)建立新的模型。假設(shè)(1)，每個病人單位時間內(nèi)傳染的人數(shù)與這時未被傳染的人數(shù)成正比，即 ；假設(shè)(2)，一人得病后，經(jīng)久不愈，并在傳染期內(nèi)不會死亡；假設(shè)(3)，總?cè)藬?shù)為n，即．由以上假設(shè)得微分方程 (2)用分離變量法求得其解為 (3) ．模
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