傳染病傳播的數(shù)學(xué)模型上課-在線瀏覽
2025-05-22 03:21本頁面
【正文】 型二可以用來預(yù)報傳染較快的疾病前期傳染病高峰到來的時間。 由(3)式可得 (4) 令 ，得極大點(diǎn)為 (5)由此可見，當(dāng)傳染病強(qiáng)度K或總?cè)藬?shù)n增加時，都將變小，即傳染病高峰來得快，這與實際情況吻合。模型二的缺點(diǎn)是：當(dāng)時，由(3)式可知，即最后人人都要生病，這顯然是不符合實際情況的。為了與實際問題更加吻合，對上面的數(shù)學(xué)模型再進(jìn)一步修改，這就要考慮人得了病后有的會死亡；另外不是每個人被傳染后都會傳染別人，因為其中一部分會被隔離。為此作出新的假設(shè)，建立新的模型。設(shè)患過傳染病而完全痊愈的任何人具有長期免疫力，不考慮反復(fù)受傳染的情形，并設(shè)傳染病的潛伏期很短，可以忽略不計，即一個人患了病之后立即成為傳染者。假設(shè)疾病傳染服從下列法則：(1) 在所考慮的時期內(nèi)人口總數(shù)保持在固定水平N，即不考慮出生及其它原因引起的死亡，以及遷入遷出等情況；(2) 易受傳染者人數(shù)s(t)的變化率正比于第一類的人數(shù)I(t)與第二類人數(shù)s(t)的乘積；(3) 由第一類向第三類轉(zhuǎn)變的速率與第一類的人數(shù)成正比。由(6)式的三個方程相加得 則 （人口總數(shù)）故 （7）由此可知，只要知道了s(t)和I(t)，即可求出R(t)。因此，由 （8）得 ， 。由(8)式知 所以當(dāng)時，I(s)是s的增函數(shù)，時，I(s)是s的減函數(shù)。而當(dāng)時，I(s) 0。所以為方程組(7)的平衡點(diǎn)．當(dāng)時，方程(9)當(dāng)t由t變化到時，點(diǎn)(s(t),I(t))沿曲線(9)移動，并沿s減少方向移動，因為s(t)隨時間的增加而單調(diào)減少。所以，如果為數(shù)不多的一群傳染者分散在居民中，且，則這種疾病會很快被消滅。當(dāng)時，I(t)才開始減小。用一般的常識來檢驗上面的結(jié)論也是符合的。 如果起初易受傳染者的人數(shù)大于但接近于閾值，即如果 與相比是小量，則最終患病的人數(shù)近似于2．這就是著名的傳染病學(xué)中的閾值定理。定理（傳染病學(xué)中的閾值定理）：設(shè)，且假設(shè) 同1相比是小量。即易受傳染者的人數(shù)最初比閾值高多少，那最終就會比閾值低多少。根據(jù)閾值定理就可以由起初易受傳染者的人數(shù)來估計最終患病的人數(shù)。在傳染病發(fā)生過程中，不可能準(zhǔn)確的調(diào)查每一天或每一星期得病的人數(shù)。因此，統(tǒng)計的記錄是每一天或每一星期新排除者的人數(shù)，而不是新得病的人數(shù)。如果傳染病不嚴(yán)重，則是小量，取泰勒級數(shù)的前三項，取近似值得 其
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