微分方程模型——人口模型、傳染病模型ppt(編輯修改稿)
2025-01-19 14:01 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 （ 96年的全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽題） 濃度的擴(kuò)散（人體內(nèi)藥物的吸收，傳染病的傳播與流行等） Malthus 模型和 Logistic模型都是確定性模型，只考慮人口 總數(shù)的連續(xù)時(shí)間模型。在研究過(guò)程中還發(fā)展了隨機(jī)性模型， 考慮人口年齡分布的模型等。 ?Usher模型 ????????001NtNNNNdttdNm)())(()( ???微分方程模型（ 17/33） Logistic 模型在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的應(yīng)用 ① 動(dòng)植物的生長(zhǎng)規(guī)律 ② 新產(chǎn)品的銷(xiāo)售 ③ 廣告的宣傳作用 微分方程模型（ 18/33） 微分方程模型（ 19/33） 動(dòng)態(tài)模型 ? 描述對(duì)象特征隨時(shí)間 (空間 )的演變過(guò)程 ? 分析對(duì)象特征的變化規(guī)律 ? 預(yù)報(bào)對(duì)象特征的未來(lái)性態(tài) ? 研究控制對(duì)象特征的手段 ? 根據(jù)函數(shù)及其變化率之間的關(guān)系確定函數(shù) 微分方程建模 ? 根據(jù)建模目的和問(wèn)題分析作出簡(jiǎn)化假設(shè) ? 按照內(nèi)在規(guī)律或用類(lèi)比法建立微分方程 微分方程模型（ 20/33） 傳染病模型 問(wèn)題 ? 描述傳染病的傳播過(guò)程 ? 分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律 ? 預(yù)報(bào)傳染病高潮到來(lái)的時(shí)刻 ? 預(yù)防傳染病蔓延的手段 ? 按照傳播過(guò)程的一般規(guī)律，用機(jī)理分析方法建立模型 微分方程模型（ 21/33） 已感染人數(shù) (病人 ) i(t) ? 每個(gè)病人每天有效接觸(足以使人致病 )人數(shù)為 ? 模型 1 假設(shè) ttititti ????? )()()( ?若有效接觸的是病人，則不能使病人數(shù)增加 必須區(qū)分已感染者 (病人 )和未感染者 (健康人 ) 建模 0)0( iiidtdi?? ?????? itteiti ?0)( ?? 微分方程模型（ 22/33） sidtdi ??1)()( ?? tits模型 2 區(qū)分已感染者 (病人 )和未感染者 (健康人 ) 假設(shè) 1）總?cè)藬?shù) N不變，病人和健康 人的 比例分別為 ( ), ( )i t s t 2）每個(gè)病人每天 有效接觸 人數(shù)為 ?, 且 使接觸的健康人致病 建模 [ ( ) ( ) ] [ ] )() (N si t t i t tt N i t?? ? ? ? ?????????0)0()1(iiiidtdi?? ~ 日 接觸率 SI 模型 微分方程模型（ 23/33） teiti?????????????1111)(0????????0)0()1(iiiidtdi?模型 2 1/2 tm i i0 1 0 t ???????? ?? ? 11ln01it m ?tm~傳染病高潮到來(lái)時(shí)刻 ? (日接觸率 )? ? tm? 1???? itLogistic 模型 病人可以治愈！ ? t=tm, di/dt 最大 微分方程模型（ 24/33） 模型 3 傳染病
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