微分方程模型——人口模型、傳染病模型ppt-展示頁
2025-01-01 14:01本頁面
【正文】 1999 人口 (億 ) 5 10 20 30 40 50 60 世界人口增長概況 中國人口增長概況 年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2021 人口 (億 ) 研究人口變化規(guī)律 控制人口過快增長 如何預(yù)報(bào)人口的增長 微分方程模型（ 8/33） 指數(shù)增長模型 —— 馬爾薩斯提出 (1798) 常用的計(jì)算公式 kk rxx )1(0 ??x(t) ~時(shí)刻 t的 人口 基本假設(shè) : 人口 (相對(duì) )增長率 r 是常數(shù) trtxtxttx ?????)()()(今年人口 x0, 年增長率 r k年后人口 0)0(, xxrxdtdx ??rtextx0)( ?trextx )()( 0? trx )1(0 ??隨著時(shí)間增加，人口按指數(shù)規(guī)律無限增長 微分方程模型（ 9/33） 參數(shù)估計(jì) MatLAB命令線性擬合 polyfit()或者 非線性擬合直接 lsqcurvefit() 擬合出即可 最小二乘擬合出 r 微分方程模型（ 10/33） 指數(shù)增長模型的應(yīng)用及局限性 ? 與 19世紀(jì)以前歐洲一些地區(qū)人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)吻合 ? 適用于 19世紀(jì)后遷往加拿大的歐洲移民后代 ? 可用于短期人口增長預(yù)測 ? 不符合 19世紀(jì)后多數(shù)地區(qū)人口增長規(guī)律 ? 不能預(yù)測較長期的人口增長過程 19世紀(jì)后人口數(shù)據(jù) 人口增長率 r不是常數(shù) (逐漸下降 ) 微分方程模型（ 11/33） 阻滯增長模型 (Logistic模型 ) 人口增長到一定數(shù)量后，增長率下降的原因： 資源、環(huán)境等因素對(duì)人口增長的阻滯作用 且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大 假設(shè) )0,()( ??? srsxrxr r~固有增長率 (x很小時(shí) ) xm~人口容量（資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量） )1()(mxxrxr ??r是 x的減函數(shù) mxrs ?0)( ?mxr微分方程模型（ 12/33） rxdtdx ? )1()(mxxrxxxrdtdx ???dx/dt x 0 xm xm/2 xm x txxxemm rt( )( )?? ? ?1 10t x 0 x(t)~S形曲線 , x增加先快后慢 x0 xm/2 阻滯增長模型 (Logistic模型 ) 微分方程模型（ 13/33） 參數(shù)估計(jì) 用指數(shù)增長模型或阻滯增長模型作人口 預(yù)報(bào)，必須先估計(jì)模型參數(shù) r 或 r, xm ? 利用統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)用最小二乘法作擬合 例：美國人口數(shù)據(jù)（單位 ~百萬） 1860 1870 1880 …… 1960 1970 1980 1990 …… 專家估計(jì) 阻滯增長模型 (Logistic模型 ) r=, xm= 微分方程模型（ 14/33） 模型檢驗(yàn) 用模型計(jì)算 2021
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