【正文】 of the exported) this approach is known as the cauchy39。s method Key words: Function equation, Assignment method, Mathematical induction, Cauchy method, Solution 池州學(xué)院 本科 畢業(yè)論文 （設(shè)計(jì)） 6 前言 數(shù)學(xué)素來是一門很有知識(shí)的學(xué)問。之所以知識(shí)是因?yàn)?，自古就有這樣的一句話 ——學(xué)習(xí)科學(xué)，無處不在！數(shù)學(xué)一直都是遙遙的處于翹首之位。說其是學(xué)問又是因?yàn)?，?shù)學(xué)那些千變?nèi)f化的方程式自古以來便被各大數(shù)學(xué)家絞盡腦汁地給予研究，然而無論如何去研究，仍然都逃不出 —— 方程式的解讀。 方程式的解在很大程度上豐富了數(shù)學(xué)領(lǐng)域并激發(fā)了一種境界，方程式的解從古至今一直都未被突破，相反，反而卻以一種神秘的面貌出現(xiàn)在大家的面前。然而無論如何去解方程式，隨著時(shí)代的變遷，歷史的更迭，人們卻總能發(fā)現(xiàn)更好更不一樣的 解方程式的方法，以及各式各樣的方程式。不僅在一定程度上豐富了方程式的范圍，同樣也極大的增加了我們的學(xué)習(xí)空間。 從小學(xué)開始，我們便已早早兒接觸方程式了，從最簡單的一元一次，到后面的一元二次以及二元二次，以至于現(xiàn)如今到了大學(xué)，數(shù)學(xué)統(tǒng)稱 —— 高等數(shù)學(xué)，以及后面的一系列縱支。 方程式的解關(guān)鍵詞語便是在于一個(gè)“解”字，然而解方程式眼面前兒看著卻是指一個(gè)動(dòng)作，是去解一個(gè)方程，那么基于此處解方程式又有何樣優(yōu)點(diǎn)呢？其實(shí)很簡單，因?yàn)橹挥畜w會(huì)，才可明了方程式在實(shí)際生活中運(yùn)用到底起到了什么作用。 軌道的設(shè)計(jì)、電腦數(shù)字的運(yùn)用、住房材 料的精確設(shè)計(jì)、小到平時(shí)生活中開銷計(jì)算，大到一座高樓大廈的細(xì)枝末節(jié)，無一不予我們的方程式息息相關(guān)，而這些都離不開方程的解和解方程式，只在于，方程式的重要性！ 而且為了更好的讓人們?nèi)ミ\(yùn)用這些方程式，各國的數(shù)學(xué)家發(fā)明了很多的方法來解方程式，譬如：待定系數(shù)法、換元法、數(shù)學(xué)歸納法、反證法、不動(dòng)點(diǎn)法諸如此類等等解法。不同的方程式適應(yīng)于不同的解法，總是會(huì)有一種解法更加的適合，同樣會(huì)有一種解法更加的簡單，而我們在學(xué)習(xí)的過程中主要的任務(wù)，便是如何的將這些解方程式的方法游刃有余的運(yùn)用于我們的各種的方程式之中，以至于我們可以更好 、更快、用最合適的方法去解方程式。 當(dāng)然，在數(shù)學(xué)競賽中常常會(huì)遇到相關(guān)的函數(shù)方程問題，關(guān)于這類問題，主要是函數(shù)方程直接解決一個(gè)給定的或根據(jù)實(shí)際問題，然后解決其他擴(kuò)展名列表的功能。解決這些問題是有一定的困難，這些困難與泛函方程本身，因?yàn)榕R時(shí)性途徑的探索，解決不完全泛函方程，大量的函數(shù)方程尚未解決，這是解決了大部分所需的函數(shù)方程的方法求解數(shù)學(xué)可以用初等方法函數(shù)方程是不多了，這里先介紹函數(shù)方程的性質(zhì) ,然后介紹用初等方法解函數(shù)方程的方法 本篇論文的終點(diǎn)也是重點(diǎn)闡述：第一，何為方程式，第二，方程式的具體解法，并對于每種 解法賦予案列介紹，以便各種可以更加清楚明了的了解方程式。 池州學(xué)院 本科 畢業(yè)論文 （設(shè)計(jì)） 7 2 一類函數(shù)方程的解法 待定系數(shù)法 待定系數(shù)的方法中，是一個(gè)多項(xiàng)式表示成另一種含有新形式的待定系數(shù)，因此可以得到一個(gè)身份，然后方程或方程系數(shù)應(yīng)滿足與身份的本質(zhì)規(guī)定，然后通過求解方程或方程組可以得到待定系數(shù)，亦 或 是 找出某些系數(shù)所滿足的關(guān)系式 。 在函數(shù)方程的解法之中用待定系數(shù)法求方程的解主要將其運(yùn)用于函數(shù)的類型以及很熟的某些特征，因?yàn)榇耸亲詈唵蔚姆椒ā? 函數(shù)的某些特征其基本解題步驟為 （ 1）確定所求問題含待定系數(shù)的解析式； （ 2） 借用 恒等條件，列出含待定系數(shù)的方程； （ 3）解方程或消去待定系數(shù) 例 已知 )(xf 是二次函數(shù)，且滿足 12)(2)1(3 2 ????? xxxfxf ，求 )( xf 解析式。 解： 由題意可設(shè)： cbxaxxf ??? 2)( 則 )()2()1( 2 cbaxbaaxxf ??????? 則 )33()6()(2)1(3 2 cbaxbaaxxfxf ???????? 所以 12)33()6( 22 ???????? xxcbaxbaax ????????????133162cbabaa 得 ?????????34132cba 所以 34132)( 2 ??? xxxf 例 已知函數(shù)方程 )(xf 是多項(xiàng)函數(shù)，且滿足 642)1()2( 2 ?????? xxxfxf ，池州學(xué)院 本科 畢業(yè)論文 （設(shè)計(jì)） 8 求 )(xf 解：由題意可知 )(xf 是多項(xiàng)式 而 )2( ?xf ， )1( ?xf 不改變函數(shù)的最高次項(xiàng) 所以 )(xf 必為二次函數(shù) 則設(shè) cbxaxxf ??? 2)( 而 )24()4()2( 2 cbaxbaaxxf ??????? )92)1( 2 cbabxaxaxxf ??????? 所以 )25()22(2)1()2( 2 cbaxbaaxxfxf ????????? 又 得 ???????????62542222cbabaa 解得 ????????011cba 所以 xxxf ?? 2)( 例 已知對任意的 Rx? ，函數(shù)方程滿足 )(4)1(3)2( xfxfxf ???? 且0)( ?xf ， 1)0( ?f ， 9)1( ?f ，那么求出函數(shù)方程的解。 解：由題意可知 根據(jù)已知條件知道方程的結(jié)構(gòu)，那么我們先找到的解 xaxf ?)( ，其中一個(gè)是被確定的一個(gè)常數(shù)。 所以 )(4)(3)(2 xfxafxfa ?? . 0)()43( 2 ??? xfaa . 而 0)( ?xf 所以 0432 ??? aa ，解得 11 ??a ， 42?a . 再設(shè)原方程的解為 xxxx BABaAaxf 4*)1(*)( 21 ????? （其中 A,， B是常數(shù)） 又由 0)( ?xf ， 1)0( ?f ， 9)1( ?f 得 ??? ??? ?? 94 1BABA 池州學(xué)院 本科 畢業(yè)論文 （設(shè)計(jì)） 9 所以 ??? ???21BA 所以 xxxf 42)1()1()( ?????? . 我們根據(jù)函數(shù)的某些特征設(shè)出函數(shù)的關(guān)系式，然后通過已知條件求解出函數(shù)解析式。 定義在正整數(shù)的函數(shù)方程，方程是基于遞歸形式給出，我們可以用遞歸的方法解決，從函數(shù)方程解的要求出發(fā)，從簡單的情況下，復(fù)發(fā)，派生方程出發(fā)。然而 遞推法對于實(shí)數(shù)集上的函數(shù)方程未必適用。 遞歸的方法包括兩個(gè)方面，一方面是在為特征函數(shù)方程遞歸表達(dá)式的形式，另一種是用遞歸 序列表達(dá)式函數(shù)方程的一種形式。 設(shè) )(xf 是定義在自然數(shù)集 N上的函數(shù)， af ?)1( (確定常數(shù) )，如果存在一個(gè)遞歸（或遞推）關(guān)系 S，當(dāng)知道了前面 k 項(xiàng)的值 )1( ?nf ， ....,3,2,1 kt ? 由 S可唯一確定 )1( ??knf的值，那么稱 )(nf 為 k 階遞歸函數(shù)。遞歸（或遞推）是解決函數(shù)方程的重要方法。 例如： 自然數(shù)平方數(shù)列 21 ， 2 ， 23 ， ...， 2n ， ? ， , 他的通項(xiàng)公式： 2)( nnf ? 遞推公式 : 12)()1( ???? nnfnf 遞歸公式： )()1(3)2(3)3( nfnfnfnf ?????? 值得注意的是（ 1）、遞推、遞歸公式均是函數(shù)方程，而通項(xiàng)公式則是他們的解 （ 2）、遞歸公式（在數(shù)列一節(jié)中詳細(xì)講）一般形式是 nk aknfknfknf ??? ????????? . ..)2()1()( 21 （ 3）、通項(xiàng)公式一定由數(shù)列唯一確定，但遞歸、遞推不同，需給出第 k 項(xiàng)的值（初始條件） ,不同初始條件，數(shù)列不同。 （ 4）、由遞歸公式 ?遞 歸方程 ? 特征根 ? （定理）求解 例 已知 51)1( ?f ，且當(dāng) n1， Nn? 時(shí)，有)(21 1)1(2)( )1( nfnnfnfnf ? ????求 )(nf 解：把遞推公式進(jìn)行整理得： )1()()1(2)()1( ????? nfnfnnfnf 池州學(xué)院 本科 畢業(yè)論文 （設(shè)計(jì)） 10 所以 )1(2)1( 1)(1 ???? nnfnf 令 ,...,4,3,2 kn ? 得 3*2)1(1)2(1 ?? ff 4*2)2(1)3(1 ?? ff 5*2)3(1)4(1 ?? ff ? ? ? )1(*2)1( 1)(1 ???? kkfkf k 個(gè)等式相加得 )4)(1()]1(543[*2)1(1)(1 ?????????? kkkfkf ? 所以 13)(1 2 ??? kkkf 故 131)(2 ??? nnnf 例 對于 Nx? ，有 Nxf ?)( 且 xyyfxfyxf ???? )()()( ， 1)1( ?f ，求 )(xf ? 解：由題意可知 令 1, ?? ytx 得 tftftf ???? )1()()1( 所以 1)()1( ???? ttftf 所以 2)1()2( ?? ff 3)2()3( ?? ff 4)3()4( ?? ff ? ? ? xxfxf ??? )1()( 池州學(xué)院 本科 畢業(yè)論文 （設(shè)計(jì)） 11 累加得 2 )2)(1(32)1()( ???????? xxxfxf ? 所以 2)( 2 xxxf ?? 例 已知 0)1( ?f ， 1)2( ?f 解函數(shù)方程 )()1(2)2( nfnfnf ???? 解： 由題意可知 )()1()1()2( nfnfnfnf ?????? 所以 )2()1()1()( ?????? kfkfkfkf