【正文】 of the exported) this approach is known as the cauchy39。s method Key words: Function equation, Assignment method, Mathematical induction, Cauchy method, Solution 池州學院 本科 畢業(yè)論文 （設計） 6 前言 數(shù)學素來是一門很有知識的學問。之所以知識是因為，自古就有這樣的一句話 ——學習科學，無處不在！數(shù)學一直都是遙遙的處于翹首之位。說其是學問又是因為，數(shù)學那些千變?nèi)f化的方程式自古以來便被各大數(shù)學家絞盡腦汁地給予研究，然而無論如何去研究，仍然都逃不出 —— 方程式的解讀。 方程式的解在很大程度上豐富了數(shù)學領域并激發(fā)了一種境界，方程式的解從古至今一直都未被突破，相反，反而卻以一種神秘的面貌出現(xiàn)在大家的面前。然而無論如何去解方程式，隨著時代的變遷，歷史的更迭，人們卻總能發(fā)現(xiàn)更好更不一樣的 解方程式的方法，以及各式各樣的方程式。不僅在一定程度上豐富了方程式的范圍，同樣也極大的增加了我們的學習空間。 從小學開始，我們便已早早兒接觸方程式了，從最簡單的一元一次，到后面的一元二次以及二元二次，以至于現(xiàn)如今到了大學，數(shù)學統(tǒng)稱 —— 高等數(shù)學，以及后面的一系列縱支。 方程式的解關鍵詞語便是在于一個“解”字，然而解方程式眼面前兒看著卻是指一個動作，是去解一個方程，那么基于此處解方程式又有何樣優(yōu)點呢？其實很簡單，因為只有體會，才可明了方程式在實際生活中運用到底起到了什么作用。 軌道的設計、電腦數(shù)字的運用、住房材 料的精確設計、小到平時生活中開銷計算，大到一座高樓大廈的細枝末節(jié)，無一不予我們的方程式息息相關，而這些都離不開方程的解和解方程式，只在于，方程式的重要性！ 而且為了更好的讓人們?nèi)ミ\用這些方程式，各國的數(shù)學家發(fā)明了很多的方法來解方程式，譬如：待定系數(shù)法、換元法、數(shù)學歸納法、反證法、不動點法諸如此類等等解法。不同的方程式適應于不同的解法，總是會有一種解法更加的適合，同樣會有一種解法更加的簡單，而我們在學習的過程中主要的任務，便是如何的將這些解方程式的方法游刃有余的運用于我們的各種的方程式之中，以至于我們可以更好 、更快、用最合適的方法去解方程式。 當然，在數(shù)學競賽中常常會遇到相關的函數(shù)方程問題，關于這類問題，主要是函數(shù)方程直接解決一個給定的或根據(jù)實際問題，然后解決其他擴展名列表的功能。解決這些問題是有一定的困難，這些困難與泛函方程本身，因為臨時性途徑的探索，解決不完全泛函方程，大量的函數(shù)方程尚未解決，這是解決了大部分所需的函數(shù)方程的方法求解數(shù)學可以用初等方法函數(shù)方程是不多了，這里先介紹函數(shù)方程的性質(zhì) ,然后介紹用初等方法解函數(shù)方程的方法 本篇論文的終點也是重點闡述：第一，何為方程式，第二，方程式的具體解法，并對于每種 解法賦予案列介紹，以便各種可以更加清楚明了的了解方程式。 池州學院 本科 畢業(yè)論文 （設計） 7 2 一類函數(shù)方程的解法 待定系數(shù)法 待定系數(shù)的方法中，是一個多項式表示成另一種含有新形式的待定系數(shù)，因此可以得到一個身份，然后方程或方程系數(shù)應滿足與身份的本質(zhì)規(guī)定，然后通過求解方程或方程組可以得到待定系數(shù)，亦 或 是 找出某些系數(shù)所滿足的關系式 。 在函數(shù)方程的解法之中用待定系數(shù)法求方程的解主要將其運用于函數(shù)的類型以及很熟的某些特征，因為此是最簡單的方法。 函數(shù)的某些特征其基本解題步驟為 （ 1）確定所求問題含待定系數(shù)的解析式； （ 2） 借用 恒等條件，列出含待定系數(shù)的方程； （ 3）解方程或消去待定系數(shù) 例 已知 )(xf 是二次函數(shù)，且滿足 12)(2)1(3 2 ????? xxxfxf ，求 )( xf 解析式。 解： 由題意可設： cbxaxxf ??? 2)( 則 )()2()1( 2 cbaxbaaxxf ??????? 則 )33()6()(2)1(3 2 cbaxbaaxxfxf ???????? 所以 12)33()6( 22 ???????? xxcbaxbaax ????????????133162cbabaa 得 ?????????34132cba 所以 34132)( 2 ??? xxxf 例 已知函數(shù)方程 )(xf 是多項函數(shù)，且滿足 642)1()2( 2 ?????? xxxfxf ，池州學院 本科 畢業(yè)論文 （設計） 8 求 )(xf 解：由題意可知 )(xf 是多項式 而 )2( ?xf ， )1( ?xf 不改變函數(shù)的最高次項 所以 )(xf 必為二次函數(shù) 則設 cbxaxxf ??? 2)( 而 )24()4()2( 2 cbaxbaaxxf ??????? )92)1( 2 cbabxaxaxxf ??????? 所以 )25()22(2)1()2( 2 cbaxbaaxxfxf ????????? 又 得 ???????????62542222cbabaa 解得 ????????011cba 所以 xxxf ?? 2)( 例 已知對任意的 Rx? ，函數(shù)方程滿足 )(4)1(3)2( xfxfxf ???? 且0)( ?xf ， 1)0( ?f ， 9)1( ?f ，那么求出函數(shù)方程的解。 解：由題意可知 根據(jù)已知條件知道方程的結(jié)構，那么我們先找到的解 xaxf ?)( ，其中一個是被確定的一個常數(shù)。 所以 )(4)(3)(2 xfxafxfa ?? . 0)()43( 2 ??? xfaa . 而 0)( ?xf 所以 0432 ??? aa ，解得 11 ??a ， 42?a . 再設原方程的解為 xxxx BABaAaxf 4*)1(*)( 21 ????? （其中 A,， B是常數(shù)） 又由 0)( ?xf ， 1)0( ?f ， 9)1( ?f 得 ??? ??? ?? 94 1BABA 池州學院 本科 畢業(yè)論文 （設計） 9 所以 ??? ???21BA 所以 xxxf 42)1()1()( ?????? . 我們根據(jù)函數(shù)的某些特征設出函數(shù)的關系式，然后通過已知條件求解出函數(shù)解析式。 定義在正整數(shù)的函數(shù)方程，方程是基于遞歸形式給出，我們可以用遞歸的方法解決，從函數(shù)方程解的要求出發(fā)，從簡單的情況下，復發(fā)，派生方程出發(fā)。然而 遞推法對于實數(shù)集上的函數(shù)方程未必適用。 遞歸的方法包括兩個方面，一方面是在為特征函數(shù)方程遞歸表達式的形式，另一種是用遞歸 序列表達式函數(shù)方程的一種形式。 設 )(xf 是定義在自然數(shù)集 N上的函數(shù)， af ?)1( (確定常數(shù) )，如果存在一個遞歸（或遞推）關系 S，當知道了前面 k 項的值 )1( ?nf ， ....,3,2,1 kt ? 由 S可唯一確定 )1( ??knf的值，那么稱 )(nf 為 k 階遞歸函數(shù)。遞歸（或遞推）是解決函數(shù)方程的重要方法。 例如： 自然數(shù)平方數(shù)列 21 ， 2 ， 23 ， ...， 2n ， ? ， , 他的通項公式： 2)( nnf ? 遞推公式 : 12)()1( ???? nnfnf 遞歸公式： )()1(3)2(3)3( nfnfnfnf ?????? 值得注意的是（ 1）、遞推、遞歸公式均是函數(shù)方程，而通項公式則是他們的解 （ 2）、遞歸公式（在數(shù)列一節(jié)中詳細講）一般形式是 nk aknfknfknf ??? ????????? . ..)2()1()( 21 （ 3）、通項公式一定由數(shù)列唯一確定，但遞歸、遞推不同，需給出第 k 項的值（初始條件） ,不同初始條件，數(shù)列不同。 （ 4）、由遞歸公式 ?遞 歸方程 ? 特征根 ? （定理）求解 例 已知 51)1( ?f ，且當 n1， Nn? 時，有)(21 1)1(2)( )1( nfnnfnfnf ? ????求 )(nf 解：把遞推公式進行整理得： )1()()1(2)()1( ????? nfnfnnfnf 池州學院 本科 畢業(yè)論文 （設計） 10 所以 )1(2)1( 1)(1 ???? nnfnf 令 ,...,4,3,2 kn ? 得 3*2)1(1)2(1 ?? ff 4*2)2(1)3(1 ?? ff 5*2)3(1)4(1 ?? ff ? ? ? )1(*2)1( 1)(1 ???? kkfkf k 個等式相加得 )4)(1()]1(543[*2)1(1)(1 ?????????? kkkfkf ? 所以 13)(1 2 ??? kkkf 故 131)(2 ??? nnnf 例 對于 Nx? ，有 Nxf ?)( 且 xyyfxfyxf ???? )()()( ， 1)1( ?f ，求 )(xf ? 解：由題意可知 令 1, ?? ytx 得 tftftf ???? )1()()1( 所以 1)()1( ???? ttftf 所以 2)1()2( ?? ff 3)2()3( ?? ff 4)3()4( ?? ff ? ? ? xxfxf ??? )1()( 池州學院 本科 畢業(yè)論文 （設計） 11 累加得 2 )2)(1(32)1()( ???????? xxxfxf ? 所以 2)( 2 xxxf ?? 例 已知 0)1( ?f ， 1)2( ?f 解函數(shù)方程 )()1(2)2( nfnfnf ???? 解： 由題意可知 )()1()1()2( nfnfnfnf ?????? 所以 )2()1()1()( ?????? kfkfkfkf