【正文】 點不可導，我們說，在 )0,(?? ， 1)39。(39。 ???? xx ,x 是 )(xf 的原函數(shù)；在 xxx ,139。39。),0( ??? 是 ()fx的原函數(shù)；但不能說在 ? ?,??? 上， x 是 ()fx的原函數(shù)。 由此可見，一個函數(shù)的不定積分既不是一個數(shù)，也不是一個函數(shù)， 而是一個函數(shù)族。 5 直接積分法就是利用積分公式和積分的基本性質(zhì)求不定積分 的方法，并且直接 積分法關(guān)鍵就是對被積函數(shù)不管使用什么樣的 變形，最后都要利用不定積分的運算性質(zhì)和基本的積分公式，直 接求出不定積分。因此，對被積函數(shù)的變形要遵循“有的放矢” 的原則，進而為選擇適當?shù)幕痉e分公式打開方便之門。 性質(zhì)一、設(shè)函數(shù) f 在區(qū)間 I 上存在原函數(shù)， ,0, ?? kRk ,則函 數(shù) kf 也是在 I 上存在原函數(shù)，且 ? ?? dxxfkdxxkf )()( 。 性質(zhì)二、設(shè)函數(shù) gf, 都在區(qū)間 I 上存在原函數(shù)，則函數(shù) gf? 或 fg? 也在 I 上存在原函數(shù)，且 ? ?? ? ???? dxxgdxxfdxxgxf )()()()( 例：求 ? ?? dxxx )243( 2 解： ? ?? dxxx )243( 2 =? ? ??? dxxdxdxx 243 2 = ? ? ??? dxxdxdxx 243 2 = cxxx ??? 22 23 6 湊微分法 湊微分法的基本思想是：把所求的被積函數(shù)通過適當?shù)淖兞? 代換后，化成積分公式中的某一被積形式，然后代積分公式求出 積分結(jié)果。該積分的關(guān)鍵是：將被積表達式湊成兩部分，一部分 是復合函數(shù) ，其中外函數(shù)是基本積分公式中的某一被積形式，另 一部分是內(nèi)函數(shù)的微分，在計算的同時要注意湊微分的過程中系 數(shù)的調(diào)整。有一些不定積分，將積分變量進行一定的變換后就能 由基本公式求出所需的積分。例如求 ? ,2cos2 xdx 這個不定分與公 式 ? xdxcos 不同，區(qū)別在于后者的被積函數(shù)是積分變量 x 的直接函數(shù)，而前者的被積函數(shù)是積分變量 x 的復合函數(shù)，故不能直接應(yīng)用公式，但這個被積函數(shù)是 2)39。2( ?x 與 cos2x 之積，且 22dx d x? ，這樣所求積分可以改寫成 ? )2(2cos xxd ，再令 2ux? ，則 ? uducos 就與基本積分公式相同，然后再代回原來的變量 x ，就求得不定積分 : ? ?? )2(2c o s2c o s2 xxdxd x =? uducos = cu?sin = cx?2sin 例：求 ? ? dxx 12 解：令 21ux??,則 du=2dx, ,21dudx? 將 21ux??和 dudx 21? 代入被積表達式，得： ? ??? duudxx 2112 7 = cu ?2331 = cx ?? 23)12(31 在積分時，還會遇到這類積分，如 ? xdxxcos ， ? dxex x2 ， ? xdxxln 等積分，它們的被積函數(shù)都是兩個不同類型的函數(shù)之積，是無法用換元 積分法積出的，對這類積分可采用分部積分法來解決。 分部積分法，可以利用兩個函數(shù)乘積的求導公式推導出來： 設(shè)函數(shù) )(),( xvvxuu ?? 都有連續(xù)的導數(shù)，則由函數(shù)乘積的導數(shù)公式 , 39。39。)39。( uvvuuv ?? 移項得 vuuvuv 39。)39。(39。 ?? ，對等式兩邊作不定積分得： ? ? ??? dxvudxuvdxuv 39。)39。(39。 即 ? ??? vduuvudv ，這就是分部積分公式。當積分 ?udv 不易計算，而積分 ?vdu 比較容易計算時，就可以利用這個公式。此方法的關(guān)鍵是適當?shù)剡x取 u 和 dv，使等式右邊的積分 ?vdu 變得容易計算些。 例：求 ? xdxln 解：設(shè) ,ln dxdvxu ?? 由分部積分公式，有： ? ???? xxdxxxd x lnlnln = ? ?? dxxxxx 1ln = ?? dxxxln 8 = cxxx ??ln 3 有理函數(shù)的不定積分 定義：由兩個多項式函數(shù)的商所表示的函數(shù)稱為有理函數(shù)。 有理函數(shù)的一般形式及分類 一般形式：)()(xQxp，其中 )(xp 與 )(xQ 都是多項式。 分類：若 )(xp 的次數(shù)大于或等于 )(xQ 的次數(shù)，)()(xQxp稱為有理 假分式，若 )(xp 的次數(shù)小于 )(xQ 的次數(shù)，)()(xQxp稱為有理真分式。 mmmmnnnn bxbxbxb axaxaxaxQ xp ???? ?????????11101110 ........)( )( 其中 0,0 00 ?? ba ，（ 1）， ????????? mn 真分式 （ 2）， ????????? mn 假分式 真假有理函數(shù)的轉(zhuǎn)化 （ 1）任意有理假分式)()(xQxp，用 )(xQ 除 )(xp ，總能化為多項式)(xT 與有理真分式 )()(xQxF 之和，即 )( )()()( )( xQ xFxTxQ xp ?? ，其中 )(xF 的次數(shù)低于 )(xQ 的次數(shù)。 例： 12 643212 32224 ?? ??????? ? xx xxxxx x 9 因為多項式 )(xT 的不定積分易求，所以求有理函數(shù)的不定積分關(guān)鍵在于求有理真分式)()(xQxF的不定積分。 有理函數(shù)不定積分的積分方法 對于有理函數(shù)的不定積分有幾種方法，用湊微分法求有理 數(shù)不定積分，用配項法求有理函數(shù)不定積分，用待定系數(shù)法求有理函數(shù)不定積分。 用湊微分法求有理函數(shù)不定積分 定理：若函數(shù) )(xu ?? 在 ? ?ba, 可導，且 ? ??? ,)( auxa ????? ，有 )()(39。 ufuF ? ，則函數(shù) ? ? )(39。)( xxf ?? 存在原函數(shù) ? ?)(xF? ，即： ? ? )(39。)( xxf ??? dx= ? ? cxF ?? )( 例：求 ? ? dxx )85sin( 解： ? ? dxx )85sin( = ? ?? )85()85s in(51 xdx ux ??85 ? ??? cuudu c os51s in51 85 ?? xu cx ??? )85cos(51 該解法用了添項與除以 5 的技巧湊微分，添（減）項與同乘（除） 10 是積分運算中重要的變形技巧，需要仔細領(lǐng)會。 用配項法求有理函數(shù)不定積分 有些有理函數(shù)可以通過對分子進行配項，然后將整個分式分 成兩項或 n 項之和，再針對每項利用積分公式積分即可。 例：求 dxxx xx? ? ?? 22)1( 4116 解：設(shè)1)1()1( 4116 222?????? ?? x Cx BxAxx xx有 )1()1(4116 22 ??????? xCxBxxAxx ????? ????????64112CAACBA 解得： A=4， B=1， C=2 即 12)1( 14)1( 4116 222?????? ?? xxxxx xx ?? ????????? ?? dxxdxxdxxdxxx xx 12)1( 14)1( 4116 222 = cxxx ????? 1ln211ln4 = ? ? cxxx ???? 24 )1(ln11 該方法是將分子分母逐一分項，由一個復雜的整式化為幾個簡單 的整式，然后對應(yīng)系數(shù)相等而求解，最后積分達到解題的目的， 也是有理函數(shù)不定積分常用的一種方法。 11 4 有理函數(shù)的運用與推廣 有限個函數(shù)推廣到 n個函數(shù)代數(shù)和 法則： ? ?( ) ( ) ( ) ( )f x g x d x f x d x g x d x? ? ?? ? ? 這個法則可推廣到 n個（有限個）函數(shù)，即 n個函數(shù)代數(shù)和的不定積分 等于 n個函數(shù)不定積分的代數(shù)和。 于是，在允許相差一個任意常數(shù)的意義下，不定積分這個運算恰好是求導運算的逆運算。因為積分運算是導數(shù)運算的逆運算，所以導數(shù)公式中的每一公式反過來就得到了不定積分的公式。 不定積分公式表與導數(shù)公式表不同，導數(shù)公式表全是基本初等函數(shù)的導數(shù)公式表，而不定積分公式的原函數(shù)不都是基本初等函數(shù)，例如：原函數(shù)是 11x? ，221ax? ， 22ax? 等等都不是基本初等函數(shù)。 求函數(shù)不定積分最后都要歸結(jié)為不定積分表所列的初等函數(shù)的不定 積分。 應(yīng)用不定積分法則和不定積分公式能夠求一些簡單函數(shù)的不定積分： 例 求 22( 4 2 5 3 )x x x dx? ? ?? 解 22( 4 2 5 3 )x x x dx? ? ?? = 324 2 5 3x d x x d x x d x d x? ? ?? ? ? ? =4 322 5 3x d x x d x x d x d x? ? ?? ? ? ? 12 = 4 3 24 2 5 34 3 2x x x xc? ? ? ? ? ? ? = 4 3 225 332x x x x c? ? ? ? 注意：等式右端的每一個不定積分在區(qū)間 I 都有一個任意常數(shù)，因為有限個任意常數(shù)的代數(shù)和還是一個任意常數(shù)，所以上式只寫一 個任意常數(shù) c 即可。 例 2 求 2(1 2 )x xdx?? 解 1352 2 2 2(1 2 ) ( 4 4 )x x d x x x x d x? ? ? ??? = 1352 2 244x d x x d x x d x??? ? ? = 3 5 72 2 22 8 83 5 7x x x c? ? ? 多項式分解 任何實系數(shù)多項式 )(xQ 總可以分解為實系數(shù)一次或二次因式的乘積： vslk hrxxqpxxbxaxbxQ )()()()()( 220 ??