二階常微分方程的解法及其應(yīng)用本科畢業(yè)論文-文庫吧
2025-06-03 12:44 本頁面
【正文】 ...............................................................................................15 參考文獻 .....................................................................................................................................16 二階常微分方程的解法及其應(yīng)用摘要：本文主要介紹了二階常系數(shù)微分方程的三種解法：特征方程法、常數(shù)變異法和拉普拉斯變換法，并著重討論了特征方程根為實根、復(fù)根及重根的情形。針對這三種解法的特點，分別將其應(yīng)用到求解彈簧振子系統(tǒng)的振子的運動方程。關(guān)鍵詞：二階常微分方程。特征根法；常數(shù)變異法；拉普拉斯變換METHODS FOR TWO ORDER ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATION AND ITS APPLICATIONAbstract:This paper mainly introduces three kinds of solution for two order differential equation with constant coefficients: the characteristic equation method, the method of variation of constant and Laplasse transform method, and discusses the characteristics of Fang Chenggen is the real root, plex roots and root. According to the characteristics of the three solution, were applied to the equations of motion of vibrator for spring oscillator system.Keywords:second order ordinary differential equation。 Characteristic analysis。 constant variation method。 Laplasse transform1 引言數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史告訴我們，300年來數(shù)學(xué)分析是數(shù)學(xué)的首要分支，而微分方程又是數(shù)學(xué)分析的心臟，它還是數(shù)學(xué)分析里大部分思想和理論的根源。人所共知，常微分方程從它產(chǎn)生的那天起，就是研究自然界變化規(guī)律、研究人類社會結(jié)構(gòu)、生態(tài)結(jié)構(gòu)和工程技術(shù)問題的強有力工具。常微分方程已有悠久的歷史，而且繼續(xù)保持著進一步發(fā)展的活力，主要原因是它的根源深扎在各種實際問題之中。常微分方程在很多學(xué)科領(lǐng)域內(nèi)有著重要的應(yīng)用，自動控制、各種電子學(xué)裝置的設(shè)計、彈道的計算、飛機和導(dǎo)彈飛行的穩(wěn)定性的研究、化學(xué)反應(yīng)過程穩(wěn)定性的研究等。二階常系數(shù)常微分方程在常微分方程理論中占有重要地位，在工程技術(shù)及力學(xué)和物理學(xué)中都有十分廣泛的應(yīng)用。關(guān)于它的解結(jié)構(gòu)己有十分完美的結(jié)論，但其求解方法卻各有不同，究的熱點問題之一。而本文正是在這一背景下對于二階常系數(shù)常微分方程的解法和應(yīng)用做出研究。2 二階常系數(shù)常微分方程的幾種解法 通常來說，縱觀二階常系數(shù)常微分方程的解法來看，其中比較有代表性的是特征方程法、常數(shù)變易法、拉普拉斯變換法這三種解法，因為篇幅和個人能力有限，本文則選取這三種具備代表性的解法進行分析。 特征方程法 所謂特征方程，實際上就是為研究相應(yīng)的數(shù)學(xué)對象而引入的一些等式，它因研究對象的不同而不同，包括數(shù)列特征方程，矩陣特征方程，微分方程特征方程，積分方程特征方程等等。 求微分方程20dxpqtt??的通解. 解 特征方程 2?的根 21,?,(1)若這是兩個不等實根,則該方程有兩個實值解 12,te?,故通解為 12ttxce???（ 21,c為任意常數(shù)）.(2)若這兩個根相等,則該方程有二重根,因此方程的通解具有形狀 112ttxce???（ 2,c為任意常數(shù)）.(3)若這兩個根為共軛復(fù)根 zabi?,則該方程的通解具有形狀 12(snos)ttbt（ 21,為任意常數(shù)）.數(shù)學(xué)的許多公式與定理都需要證明,下面本文給出上面前兩個解答的理論依據(jù). 特征根是兩個實根的情形 設(shè) 12,?是上面特征方程的兩個不相等的實根,從而相應(yīng)的方程有如下兩個解 12,te?, 我們指出這兩個解在 atb?上線性無關(guān),實上,這時 1212()2()tttewte?????, 而最后一個行列式是著名的范德蒙德（Vandermonde）行列式,它等于 21()??.由于假設(shè) 21??,故此行列式不等于零,從而 ()0wt?,于是 12,te?線性無關(guān),這就是 12ttxce???（其中 12,c為任意數(shù)）. 如果特征方程有復(fù)根,則因方程的系數(shù)是實常數(shù),?????是一特征根,則 2i???也是
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