二階常微分方程的解法及其應(yīng)用本科畢業(yè)論文-閱讀頁(yè)
2025-07-03 12:44本頁(yè)面
【正文】 1()()sXsXse??,因此 31()se???,查拉普拉斯變換表可得 21()xe???,從而 21())txte??,這就是所要求的解. 當(dāng)然,求解二階或者更高階的常微分方程的方法還有很多,這里我們不能一一。通常來(lái)說(shuō)，對(duì)于物理問(wèn)題進(jìn)行求解主要應(yīng)該分為以下三個(gè)步驟內(nèi)容：第一步是對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分析從而做到對(duì)方程的建立并且對(duì)定解條件進(jìn)行明確；第二步是對(duì)解的性質(zhì)進(jìn)行討論或者求出方程以便滿足初始條件的特解；第三步是定性分析對(duì)解，對(duì)原來(lái)問(wèn)題反著進(jìn)行解釋，其中最為關(guān)鍵的因素就是要將方程列出，而列出方程的方法主要有：微元分析法和瞬時(shí)變化法。 特征方程法例如在彈簧振子系統(tǒng)當(dāng)中，測(cè)試出物體的阻尼系數(shù) ???，?,該彈簧所具備的勁度系數(shù) 175kNm???,在此背景下，假設(shè)整個(gè)質(zhì)點(diǎn)從靜止?fàn)顟B(tài)開(kāi)始逐步運(yùn)動(dòng)，求解彈簧振子的位移方程。而我們的關(guān)注點(diǎn)是在基于 0???此種情況下,質(zhì)點(diǎn)呈現(xiàn)出逐漸衰減的振動(dòng)。又例如案例：假如在以上的振動(dòng)系統(tǒng)當(dāng)中受到某個(gè)外力 10cos(3)FtN?的作用，在公式當(dāng)中 10AF?表示為驅(qū)動(dòng)力所具備的幅度值， ?則表示為驅(qū)動(dòng)力所擁有的圓頻率， f也就是驅(qū)動(dòng)力所保持的頻率。 （7）與（8）這兩個(gè)方程式都屬于質(zhì)點(diǎn)強(qiáng)迫振動(dòng)方程。由于在之前的篇幅當(dāng)中已經(jīng)得到相對(duì)應(yīng)的自由振動(dòng)方程的一般解，這就導(dǎo)致其在的關(guān)鍵問(wèn)題就是對(duì)于（8）當(dāng)中的一個(gè)特解進(jìn)行尋找，把所得到的數(shù)據(jù)代入到（8）當(dāng)中就可以得到： 207510cos(3)dxxttt??, （9）在這里可以通過(guò)假設(shè)（9）有著 1sin30cosxAtBt??這樣的特解，將這個(gè)特別往（9）當(dāng)中進(jìn)行替代并且將其進(jìn)行簡(jiǎn)化之后得到 (324)si(24)s4cs30ABttt????,按照比較同類項(xiàng)系數(shù)可以得到3,55?,這樣就可以進(jìn)一步得到1324sin0cos55xtt??,根據(jù)以上所得到的結(jié)果沒(méi)那么原方程所存的通解就可以表述為 515324()sin0cos305ttxtAeBtt????.在以上的公式當(dāng)中，初始條件決定 ,AB的數(shù)值，而其中的瞬態(tài)解是之前的兩項(xiàng)，瞬態(tài)項(xiàng)能夠?qū)τ谡麄€(gè)系統(tǒng)的自由衰減振動(dòng)進(jìn)行有效描述，而所能夠起作用的只是在震動(dòng)的開(kāi)始階段，而當(dāng)經(jīng)歷比較長(zhǎng)的時(shí)間之后，瞬態(tài)解所起到的影響則會(huì)逐漸的減弱并且在最后階段消失。從以上的公式可以得到，如果質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)系統(tǒng)受到外力作用之后，整個(gè)系統(tǒng)有著比較復(fù)雜的振動(dòng)狀態(tài)，這屬于穩(wěn)態(tài)振動(dòng)和自由衰減振動(dòng)兩者的有機(jī)合成體，在這樣的振動(dòng)狀態(tài)之下對(duì)于強(qiáng)迫振動(dòng)當(dāng)中逐步建立穩(wěn)態(tài)振動(dòng)的過(guò)程進(jìn)行有效描述。 常數(shù)變易法 從之前的分析當(dāng)中可以了解到 5txe??這屬于特征方程 2075???的實(shí)根，那么就可以得到 5txe??這個(gè)屬于方程（9）當(dāng)中的一個(gè)根，然后通過(guò)常數(shù)變異法設(shè)置 *5()txc，那么在這一過(guò)程當(dāng)中也可以得到方程的一個(gè)解為 *x，把數(shù)值代入到（9）當(dāng)中并且進(jìn)行簡(jiǎn)化之后可以得到 39。()ct的一階線性微分方程,并且在方程當(dāng)中一個(gè)特解為39。這樣就可以進(jìn)一步的假設(shè)特征方程的根為103i????，那么 1()sin(03)txtet?這就是公式（11）的一個(gè)解。 拉普拉斯變換法 依然使用之前的例子，由牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律可以得到以下的公式 2dxmckFtt??,將這一公式代入數(shù)據(jù)之后可以得到 204cos(2)dxxttt??, (12)由于質(zhì)點(diǎn)通過(guò)開(kāi)設(shè)的靜止?fàn)顟B(tài)逐步運(yùn)動(dòng)，那么就可以得到以下的公式 0,tdxt?,對(duì)方程(12)進(jìn)行拉普拉斯變換,得到 2 2()0()4()4ssXsX???,即 21()40sXs??,把上式右端分解為部分分式 22109()39643604sXss??? 2222108()(1)()(3)s???,由拉普拉斯變換表可得 09()sin()cos()39643604xttt?? 1 10i cos(3)82t tetet??。現(xiàn)今對(duì)于二階常微分方程解法的研究已經(jīng)取得了不少成就，尤其在二階常系數(shù)線性微分方程的求解問(wèn)題方面卓有成效。另外，對(duì)于二階常系數(shù)非齊次線性微分方程，目前還尚有通用的求解方法，只有一些特殊類型是可以求解的。參考文獻(xiàn)[1] (瑞典)()著,[M].科學(xué)出版社,2022：121147[2] 趙慈庚,[M].中國(guó)青年出版社,1984:7491[3] [M].高等教育出版社,1978:3953[4] 李瑞遐,[M].華東理工大學(xué)出版社,2022：4158[5] 余德浩,[M].科學(xué)出版社,2022：1421[6] [J].韶關(guān)(02)：3847[7] 弭魯芳,[J].聊城大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版).2022(04):2426+28[8] 趙慧娟,陳偉麗,趙晨霞,析[J].(08):83[9] 李孝誠(chéng),[J].(04)：9699[10] 韋程?hào)|,高揚(yáng),實(shí)踐[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí) 2022(20)：228233[11] [J].系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)(01)：9198
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