利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性態(tài)畢業(yè)論文(編輯修改稿)
2025-02-12 10:41 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ）若函數(shù)在區(qū)間的內(nèi)部某點(diǎn)取最大值（最小值）,則必是函數(shù)的極大點(diǎn)（極小點(diǎn)）. 費(fèi)馬定理 若函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo),且為的極值點(diǎn),則這就是說(shuō)可導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)取極值的必要條件是.注 函數(shù)連續(xù)但不可導(dǎo)的點(diǎn)處,也可以為極值,另一方面,. 定理1（極值的第一充分條件）設(shè)在點(diǎn)連續(xù),在某鄰域內(nèi)可導(dǎo).1 若當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),則在點(diǎn)處取得極小值.2 若當(dāng)時(shí),當(dāng),則在點(diǎn)處取得極大值. 注 ,則必不是極值. ,并且為極值,也未必存在某鄰域使（）,左右側(cè)鄰域?qū)?shù)反號(hào)是極值的充分條件而不是必要條件. 定理2 (極值的第二充分條件)設(shè)在的某鄰域內(nèi)一階可導(dǎo),在=處二階可導(dǎo),且=, ,⑴ 若,則在取得極大值。⑵ 若,則在取得極小值. 定理3 (極值存在的第三充分條件)設(shè)在的某鄰域內(nèi)存在直到階導(dǎo)數(shù), 在處階可導(dǎo),并且, ,則⑴ 當(dāng)為偶數(shù)時(shí), 在=取得極值,且當(dāng)時(shí), 在取得極大值。 當(dāng)時(shí), 在取得極小值。⑵ 當(dāng)為奇數(shù)時(shí), 在=處無(wú)極值. 例3 求的極值。 解 的定義域?yàn)? 令 ,又 由極值的第二充分條件可知 ,是極大值 ,是極小值. 例4 試求函數(shù)的極值. 解 由于,因此是函數(shù)的三個(gè)穩(wěn)定點(diǎn),的二階導(dǎo)數(shù)為,由此可得,有,.由于為奇數(shù),在取得極大值.綜上所述,為極大值,為極小值.總結(jié)求極值的方法步驟:⑴求可疑點(diǎn),可疑點(diǎn)包括ⅰ）穩(wěn)定點(diǎn)（亦稱駐點(diǎn)或逗留點(diǎn),皆指一階導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)。ⅱ）導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)。ⅲ）區(qū)間端點(diǎn).⑵對(duì)可疑點(diǎn)進(jìn)行判斷的基本方法：①直接利用定義判斷。②利用實(shí)際背景來(lái)判斷。⑶查看一階導(dǎo)數(shù)的符號(hào),當(dāng)x從左向右穿越可疑點(diǎn)若的符號(hào),由“正”變?yōu)椤柏?fù)”則為嚴(yán)格極大值；由“負(fù)”變?yōu)椤罢眲t為嚴(yán)格極小值。若不變號(hào),則不是極值.、最小值問(wèn)題 函數(shù)在某個(gè)連續(xù)區(qū)間上的最大（?。┲凳谴藚^(qū)間上的極大（?。┲导按藚^(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值中的最大（小）,我們常說(shuō)“登峰造極”,說(shuō)的是在一個(gè)山峰上達(dá)到極高,但就多個(gè)山峰來(lái)說(shuō),峰峰有極高,而其中最高者只有一個(gè),并且在一個(gè)游山者的某段旅程中,最高點(diǎn)有時(shí)不一定在某個(gè)山峰之極,就算此人停在某個(gè)山峰的上坡路上的某個(gè)位置,求最值時(shí)不光要比較各個(gè)極值,還要考慮到區(qū)間端點(diǎn)值.由連續(xù)函數(shù)在上的性質(zhì),若函數(shù)在閉區(qū)間上一定有最大值、最小值,這就為我們求連續(xù)函數(shù)的最大、最小值問(wèn)題提供了理論保證.“最好”,“最省”,“最大”,“最小”等問(wèn)題都可歸結(jié)為數(shù)學(xué)的最值問(wèn)題. 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最大值、最小值求法⑴求出在該區(qū)間內(nèi)部的一切駐點(diǎn)及不可導(dǎo)的點(diǎn),并計(jì)算相應(yīng)的函數(shù)值；⑵求出在閉區(qū)間兩端點(diǎn)處函數(shù)值.比較⑴⑵中求出的函數(shù)值,最大者為最大值,最小者為最小值.故由此可見(jiàn),求函數(shù)的最值就歸結(jié)為求函數(shù)在穩(wěn)定點(diǎn)及不可導(dǎo)的點(diǎn)及區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)值中的最值. 例5求函數(shù)
公司管理相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1