利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性態(tài)畢業(yè)論文-免費(fèi)閱讀
【正文】 ⑵考察函數(shù)是否具有某些特性（奇偶性、周期性）。⑶查看一階導(dǎo)數(shù)的符號(hào),當(dāng)x從左向右穿越可疑點(diǎn)若的符號(hào),由“正”變?yōu)椤柏?fù)”則為嚴(yán)格極大值；由“負(fù)”變?yōu)椤罢眲t為嚴(yán)格極小值。 解 的定義域?yàn)? ,令，則 即 ,列表如下：+0——0+ 函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為； 函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為、.例2 證明：當(dāng)時(shí)，不等式成立. 分析：可變形,故只需證明在內(nèi)是單調(diào)增的 .證 令 當(dāng)時(shí)，,在內(nèi)是單調(diào)增的. 當(dāng)時(shí)，,即. 通過上題我們可以知道利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式的方法是:先構(gòu)造一個(gè)輔助函數(shù),等于不等號(hào)兩端的式子的差(一般用大的減去小的),然后再利用導(dǎo)數(shù)判斷該函數(shù)的單調(diào)性,讓與比較大小,我們以后可以用這種方法證明一些不等式.函數(shù)的極值不僅在實(shí)際生活中占有重要的地位,而且也是函數(shù)性態(tài)的一個(gè)重要特征.. 定義 設(shè)函數(shù)在區(qū)間有定義,若且存在的某鄰域,有,則稱是函數(shù)的極大值點(diǎn)（極小值點(diǎn)）,是函數(shù)的極大值（極小值）,極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn),極大值與極小值統(tǒng)稱為極值.注 極值點(diǎn)必在區(qū)間的內(nèi)部（即不能是區(qū)間I的端點(diǎn)）是函數(shù)的極值是與函數(shù)在的某個(gè)鄰域上的函數(shù)值比較而言的,（或極小值）,但只能是一個(gè)最大值（如果存在最大值）和一個(gè)最小值（如果存在最小值）若函數(shù)在區(qū)間的內(nèi)部某點(diǎn)取最大值（最小值）,則必是函數(shù)的極大點(diǎn)（極小點(diǎn)）. 費(fèi)馬定理 若函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo),且為的極值點(diǎn),則這就是說可導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)取極值的必要條件是.注 函數(shù)連續(xù)但不可導(dǎo)的點(diǎn)處,也可以為極值,另一方面,. 定理1（極值的第一充分條件）設(shè)在點(diǎn)連續(xù),在某鄰域內(nèi)可導(dǎo).1 若當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),則在點(diǎn)處取得極小值.2 若當(dāng)時(shí),當(dāng),則在點(diǎn)處取得極大值. 注 ,則必不是極值. ,并且為極值,也未必存在某鄰域使（）,左右側(cè)鄰域?qū)?shù)反號(hào)是極值的充分條件而不是必要條件. 定理2 (極值的第二充分條件)設(shè)在的某鄰域內(nèi)一階可導(dǎo),在=處二階可導(dǎo),且=, ,⑴ 若,則在取得極大值。 2. Extremal function；3. Function of the maximum, minimum。②求出可能的分界點(diǎn):駐點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)。ⅱ）導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)。⑷ 對(duì)具有實(shí)際意義的函數(shù), 常用實(shí)際判斷原則確定最大(或小)值點(diǎn). 上面已經(jīng)討論了函數(shù)的升降與極值,函數(shù)與在區(qū)間,顯然都是嚴(yán)格增加的,但它們?cè)黾拥姆绞讲煌? 定義1 設(shè)為定義在區(qū)間上的任意兩點(diǎn)和任意實(shí)數(shù),總有,則稱為上的凸函數(shù),反之,如果總有,則稱為上的凹函數(shù). 定義2 設(shè)曲線在點(diǎn)()的一邊為上凸,一邊為下凸,則稱 ()為曲線的拐
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