【正文】 有,則稱為上的凸函數(shù),反之,如果總有,則稱為上的凹函數(shù). 定義2 設(shè)曲線在點(diǎn)()的一邊為上凸,一邊為下凸,則稱 ()為曲線的拐點(diǎn).注 若()是曲線的一個(gè)拐點(diǎn),在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)不一定存在,如在的情形. （拐點(diǎn)必要條件） 若()為拐點(diǎn),則要么（1）；要么（2）在點(diǎn)不可導(dǎo). 定理1 設(shè)函數(shù)在開區(qū)間是凸函數(shù)（凹函數(shù)）,且,有. 推論 若函數(shù)在開區(qū)間存在二階導(dǎo)數(shù),⑴,有,則函數(shù)在區(qū)間上嚴(yán)格凸函數(shù)； ⑵,有,則函數(shù)在區(qū)間上嚴(yán)格凹函數(shù). 定理2 設(shè)函數(shù)在開區(qū)間可導(dǎo),函數(shù)在內(nèi)是凸函數(shù)（凹函數(shù)）曲線位于它的任意一點(diǎn)切線. 若函數(shù)存在二階導(dǎo)數(shù),討論函數(shù)得凹凸性和拐點(diǎn)可按下列步驟進(jìn)行:第一步：求函數(shù)二階導(dǎo)函數(shù)；第二步：令,；第三步：判別在每個(gè)小區(qū)間的符號(hào),設(shè),由下表可知函數(shù)得凹凸性和拐點(diǎn).c曲線上的點(diǎn)+(嚴(yán)凸)0（嚴(yán)凹）拐點(diǎn)（嚴(yán)凹）0+(嚴(yán)凸)拐點(diǎn)+(嚴(yán)凸)0+(嚴(yán)凸)非拐點(diǎn)（嚴(yán)凹）0（嚴(yán)凹）非拐點(diǎn) 例7 討論函數(shù)的凹凸性及其拐點(diǎn). 解 函數(shù)的定義域是, ,：.列表如下：01+0_0+嚴(yán)凸拐點(diǎn)嚴(yán)凹拐點(diǎn)嚴(yán)凸顯然在與是嚴(yán)凸,. 注 若曲線的拐點(diǎn),在的導(dǎo)數(shù)不一定存在. 定義 當(dāng)曲線上動(dòng)點(diǎn)沿著曲線無限遠(yuǎn)移時(shí),若動(dòng)點(diǎn)到某直線的距離無限趨近于,則稱直線是曲線的漸近線. 曲線的漸近線包括三種：水平漸近線、垂直漸近線、斜漸近線. 若,則是一條水平漸近線；又有,則也是一條（若,則當(dāng)然只能算一條）.若存在,使（或）則是一條垂直漸近線,這樣的先由觀察法觀得,一般考慮分母為零處、對(duì)數(shù)的真數(shù)為零處. 是曲線的一條漸近線的充要條件是,.,即為水平漸近線. 例8 求的漸近線. 解 已知,.則是曲線的垂直漸近線.又有 .直線,即是曲線的漸近線.注 無窮區(qū)間的曲線具有什么樣的性質(zhì)才是具有漸近線？由觀察不難得到以下的簡(jiǎn)易判別法：設(shè),當(dāng)與都是連續(xù)函數(shù)時(shí),若且,則直線是曲線的垂直漸近線.當(dāng)是次多項(xiàng)式,是次多項(xiàng)式（）,若則曲線有斜漸近線。②求出可能的分界點(diǎn):駐點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)。 解 的定義域?yàn)? ,令，則 即 ,列表如下：+0——0+ 函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為； 函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為、.例2 證明：當(dāng)時(shí)，不等式成立. 分析：可變形,故只需證明在內(nèi)是單調(diào)增的 .證 令