利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性態(tài)畢業(yè)論文(參考版)
2025-01-19 10:41本頁(yè)面
【正文】 ⑸求出函數(shù)的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)、列表。⑶考察函數(shù)是否有垂直漸近線、水平漸近線、,將漸近線求出來(lái)。若則曲線有水平漸近線. 中學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用描點(diǎn)法描繪了一些簡(jiǎn)單函數(shù)的圖像,而一些關(guān)鍵性的點(diǎn),如極值點(diǎn)、拐點(diǎn)等可能漏掉,曲線的單調(diào)性、,我們已經(jīng)掌握了應(yīng)用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性、極值性、凹凸性、拐點(diǎn)等的方法,從而就能比較準(zhǔn)確地描繪函數(shù)的圖像 .描繪函數(shù)的圖像可按下列的步驟進(jìn)行:⑴確定函數(shù)的定義域。⑷ 對(duì)具有實(shí)際意義的函數(shù), 常用實(shí)際判斷原則確定最大(或小)值點(diǎn). 上面已經(jīng)討論了函數(shù)的升降與極值,函數(shù)與在區(qū)間,顯然都是嚴(yán)格增加的,但它們?cè)黾拥姆绞讲煌? 定義1 設(shè)為定義在區(qū)間上的任意兩點(diǎn)和任意實(shí)數(shù),總有,則稱為上的凸函數(shù),反之,如果總有,則稱為上的凹函數(shù). 定義2 設(shè)曲線在點(diǎn)()的一邊為上凸,一邊為下凸,則稱 ()為曲線的拐點(diǎn).注 若()是曲線的一個(gè)拐點(diǎn),在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)不一定存在,如在的情形. （拐點(diǎn)必要條件） 若()為拐點(diǎn),則要么（1）；要么（2）在點(diǎn)不可導(dǎo). 定理1 設(shè)函數(shù)在開(kāi)區(qū)間是凸函數(shù)（凹函數(shù)）,且,有. 推論 若函數(shù)在開(kāi)區(qū)間存在二階導(dǎo)數(shù),⑴,有,則函數(shù)在區(qū)間上嚴(yán)格凸函數(shù)； ⑵,有,則函數(shù)在區(qū)間上嚴(yán)格凹函數(shù). 定理2 設(shè)函數(shù)在開(kāi)區(qū)間可導(dǎo),函數(shù)在內(nèi)是凸函數(shù)（凹函數(shù)）曲線位于它的任意一點(diǎn)切線. 若函數(shù)存在二階導(dǎo)數(shù),討論函數(shù)得凹凸性和拐點(diǎn)可按下列步驟進(jìn)行:第一步：求函數(shù)二階導(dǎo)函數(shù)；第二步：令,；第三步：判別在每個(gè)小區(qū)間的符號(hào),設(shè),由下表可知函數(shù)得凹凸性和拐點(diǎn).c曲線上的點(diǎn)+(嚴(yán)凸)0（嚴(yán)凹）拐點(diǎn)（嚴(yán)凹）0+(嚴(yán)凸)拐點(diǎn)+(嚴(yán)凸)0+(嚴(yán)凸)非拐點(diǎn)（嚴(yán)凹）0（嚴(yán)凹）非拐點(diǎn) 例7 討論函數(shù)的凹凸性及其拐點(diǎn). 解 函數(shù)的定義域是, ,：.列表如下：01+0_0+嚴(yán)凸拐點(diǎn)嚴(yán)凹拐點(diǎn)嚴(yán)凸顯然在與是嚴(yán)凸,. 注 若曲線的拐點(diǎn),在的導(dǎo)數(shù)不一定存在. 定義 當(dāng)曲線上動(dòng)點(diǎn)沿著曲線無(wú)限遠(yuǎn)移時(shí),若動(dòng)點(diǎn)到某直線的距離無(wú)限趨近于,則稱直線是曲線的漸近線. 曲線的漸近線包括三種：水平漸近線、垂直漸近線、斜漸近線. 若,則是一條水平漸近線；又有,則也是一條（若,則當(dāng)然只能算一條）.若存在,使（或）則是一條垂直漸近線,這樣的先由觀察法觀得,一般考慮分母為零處、對(duì)數(shù)的真數(shù)為零處. 是曲線的一條漸近線的充要條件是,.,即為水平漸近線. 例8 求的漸近線. 解 已知,.則是曲線的垂直漸近線.又有 .直線,即是曲線的漸近線.注 無(wú)窮
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