【正文】 ( 0 ?xU 內(nèi)一階可導(dǎo)，在 0xx? 處二階可導(dǎo)，且 0)(39。( 00 ??xx 內(nèi)遞減，又由 f 在 0x 處連續(xù)，故對(duì)任意x ? )。( 00 ??xx 時(shí)， 0)( ?? xf ，則 f在點(diǎn) 0x 取得極大值． 證明 下面對(duì) (2)進(jìn)行證明，第 (1)題可以類似的證明． 由定理的條件及單調(diào)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上遞增 (減 )的充要條件可知 f 在)。( 00 ??xx 時(shí)， 0)( ?? xf ，則 f在點(diǎn) 0x 取得極小值． (2)若當(dāng) x ? )。( 00 ?xU內(nèi)可導(dǎo)． (1)若當(dāng) x ? )。0)1( ,0)1(gg 即 ???????????.02221,01mm 解 得 m??34 又 0?m 所以 034 ??? m 即 m 的取值范圍為 )0,34(? . 通過(guò)例題可以看出對(duì)于這部分知識(shí)的學(xué)習(xí)， 可以 認(rèn)識(shí)到 新 課程中增加了導(dǎo)數(shù)內(nèi)容 的作用， 在 學(xué) 習(xí)中要明確導(dǎo)數(shù)作為一種工 具在 解答 函數(shù)的單調(diào)性 ， 極值等方面 起著不可替代的 作用 ，需要 抓住 導(dǎo)數(shù) 基礎(chǔ)知識(shí)學(xué)習(xí)． 寧夏師范學(xué)院 2021 屆本科畢業(yè)生畢業(yè)論文 6 3 導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí) 導(dǎo)數(shù)的定義 定義 7 對(duì)于函數(shù) )(xfy? 有自變量 x ，若自變量 x 在 0x 處的增量為 x? ，那么函數(shù)值 y 也相應(yīng)的有增量 y? ? f ( 0x ＋ x? )f (0x ) 其比值 xy?? 叫做函數(shù) )(xfy? 從 0x 到 0x + x? 之間的平均變化率，即 xy?? ? x xfxxf ? ??? )()( 00 若 xxxxx ???? 0201 , 則平均變化率可表示為 : xy?? ? 12 12 )()( xx xfxf ?? 稱為函數(shù) )(xf 從 之間的平均變化率到 21 xx ． 導(dǎo)數(shù)的定義 定義 8 如果函數(shù) 0)( xxfy 在? 處函數(shù)值 y 的增量與自變量 x 的增量 x? 的比值，當(dāng) xx ???? y0時(shí) 有極限，就說(shuō)函數(shù) )(y xf? 在點(diǎn) 0x 處可導(dǎo)，并把這個(gè)極限叫做 )(xf 在 點(diǎn) 0x 處的導(dǎo)數(shù)（或變化率），記作0|)( 0 xxyxf ??? 或,即 x xfxxfxyxf xx ? ???????? ???? )()(l i ml i m)( 00000 由定義可知 0x)x( 在點(diǎn)f 處連續(xù)是 0x)x( 在點(diǎn)f 可導(dǎo)的必要條件．且由導(dǎo)數(shù)的定義可知，求函數(shù) )(xfy? 的導(dǎo)數(shù)的一般方法是： (1)求函數(shù)的改變量 寧夏師范學(xué)院 2021 屆本科畢業(yè)生畢業(yè)論文 7 )()( xfxxfy ????? (2)求平均變化率 x xfxxfxy ? ?????? )()( (3)取極限，得導(dǎo)數(shù) y? ＝ xyx ???? 0lim 例 3 用定義分別求函數(shù) xyxy ?? ,2 在 1?x 處的導(dǎo)數(shù)． 解析 解 有關(guān) 這類題目 時(shí) 必須熟記導(dǎo)數(shù)的定義和解題的一般方法，按三步走的步驟就能得到準(zhǔn)確結(jié)果． 解 (1) 因?yàn)? 2)( xxf ? 所以 xxxfxfy ????????????? 2)(1)1()1()1( 22 所以 2????? xxy 因此 2)2(limlim 00 ?????? ???? xxy xx (2) 因?yàn)? xxf ?)( , 所以 11)1()1( ????????? xfxfy 所以 11 1)11( )11)(11(11 ???????? ???????? ?????? xxx xxxxxy 因此 2111 1limlim 00 ??????? ???? xxy xx 寧夏師范學(xué)院 2021 屆本科畢業(yè)生畢業(yè)論文 8 導(dǎo)函數(shù) 定義 9 如果函數(shù) 在)x(f 開區(qū)間 ? ?ba, 內(nèi)的每一點(diǎn)都可導(dǎo)，就說(shuō) 在)x(f 開區(qū)間 ? ?ba, 內(nèi)可導(dǎo)．這時(shí)，對(duì)于開區(qū)間 ? ?ba, 內(nèi)每一個(gè)確定的值 0x ，都對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù) )( 0xf? ，這樣就在開區(qū)間 ? ?ba, 內(nèi)構(gòu)成一個(gè)新的函數(shù)，我們把這一個(gè)新函數(shù)叫做 在)x(f 開區(qū)間 ? ?ba, 內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)，記作： )(xf? 或 y? （需指明自變量 x 時(shí)記作： xy? ）即 )(xf? =y? = x xfxxfxy xx ? ?????? ???? )()(l i ml i m 00 導(dǎo)數(shù)的幾何意義 定義 10 若函數(shù) 在)x(fy? 0x點(diǎn) 處可導(dǎo)，則它在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù) )( 0xf? 等于曲線在)x(fy? 點(diǎn) ))(,( 00 xfxp 處切線的斜率．若 在)x(fy? 0x點(diǎn) 處可導(dǎo)，則曲線在)x(fy? ))(,( 00 xfxp 處的切線方程為： ))(()( 000 xxxfxfy ???? 導(dǎo) 數(shù)的幾何意義主要用于求解函數(shù)的切線問(wèn)題，求解過(guò)程中主要注意事項(xiàng)是熟記導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以達(dá)到準(zhǔn)確 [4] ．下面我們?cè)诶}中看看導(dǎo)數(shù)的幾何意義的具體 用法： 例 4 已知曲線 3431 3 ?? xy ． (1)求曲線在點(diǎn) )4,2(p 處的切線方程； (2)求曲線過(guò)點(diǎn) )4,2(p 的切線方程； (3)求斜率為 4的曲線的切線方程． 解析 解這類題目必須審清題意，注意“在某一點(diǎn)”和“過(guò)某一點(diǎn)”的區(qū)別，避免沒(méi)有審 清題意而犯錯(cuò)誤． 解 (1) 因?yàn)?點(diǎn) )4,2(p 在曲線 3431 3 ?? xy 上 寧夏師范學(xué)院 2021 屆本科畢業(yè)生畢業(yè)論文 9 所以 2xy?? 所以 在點(diǎn) )4,2(p 處的切線的斜率 4| 2??? ?xyk 所以 曲線3431 3 ?? xy在點(diǎn) )4,2(p 處的切線方程為 )2(44 ??? xy 即 044 ??? yx (2) 設(shè)曲線 3431 3 ?? xy 與過(guò)點(diǎn) )4,2(p 的切線相切與點(diǎn) )3431,( 300 ?xxA 則切線的斜率 200| xyk xx ??? ? 所以 切線方程為 )()3431( 02030 xxxxy ???? 即 3432 3020 ???? xxxy 因?yàn)?點(diǎn) )4,2(p 在切線上 所以 343224 3020 ??? xx 即 043 2030 ??? xx 所以 044 202030 ???? xxx 所以 0)1)(1(4)1( 00020 ????? xxxx 寧夏師范學(xué)院 2021 屆本科畢業(yè)生畢業(yè)論文 10 所以 0)2)(1( 200 ??? xx 解得 2,1 00 ??? xx 故所求的切線方程為 044 ??? yx 或 02???yx (3) 設(shè)切點(diǎn) 為 ),( 00 yx ，則切線斜率 2,4 020 ???? xxk 所以 切點(diǎn)為 )4,2( ， )34,2( ?? 所以 切線方程為 )2(44 ??? xy 和 )2(434 ??? xy 即 044 ??? yx 和 020312 ??? yx 介紹了導(dǎo)數(shù)的定義和幾何意義后，下面我們利用導(dǎo)數(shù)的定義證明本論文中常用的幾個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．其他函數(shù)的導(dǎo)數(shù)只給出來(lái)不作詳細(xì)的證明． 幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 1． 若 cf ?)x( (c 為常數(shù) )，則 0)( ?? xf 證明 因?yàn)? x xfxxfxy ? ?????? )()( ? xcc?? ? 0 所以 00limlim)( 00 ???????? ???? xx xyxfy 故 0??y 表示函數(shù) cy? 圖像上每一點(diǎn)處的切線的斜率都是 0． 2．若 )()( ??? Nnxxf n ，則 1)( ??? nnxxf 寧夏師范學(xué)院 2021 屆本科畢業(yè)生畢業(yè)論文 11 在這里 只對(duì) 211 ???? nnn 及和 的情況進(jìn)行證明 (1)求函數(shù) 1??xy 的導(dǎo)數(shù)（證明） 證明 因?yàn)? x xfxxfxy ? ?????? )()( ? x xxx ? ??? ?? 11)( ?)( )( xxxx xxx ????? ??? ? 12 )( ????? xxx 所以 ? ? 21202100 1)(l i m)(l i ml i m)( xxxxxxyxfy xxx ??????????????? ???????? (2) 求函數(shù) xy? 的導(dǎo)數(shù)（證明） 證明 因?yàn)? x xfxxfxy ? ?????? )()( ? x xxx ? ??? ? 1 所以 11limlim)( 00 ???????? ???? xx xyxfy (3) 求函數(shù) 2)( xxfy ?? 的導(dǎo)數(shù)（證明） 證明 因?yàn)? x xfxxfxy ? ?????? )()( ? x xxx ? ??? 22)( ? x xxxxx ? ?????? 222 )(2 ? xx ??2 寧夏師范學(xué)院 2021 屆本科畢業(yè)生畢業(yè)論文 12 所以 xxxxyxfy xx 2)2(l i ml i m)( 00 ?????????? ???? xy 2?? 表示函數(shù) 2xy? 圖像上點(diǎn) ? ?yx, 處切線的斜率為 x2 ，說(shuō)明隨著 x 的變化，切線的斜率也在變化．另一方面，從導(dǎo)數(shù)作為函數(shù)在一點(diǎn)的瞬間變化率來(lái)看，xy 2?? 表明： 當(dāng) x ? 0時(shí)，隨著 x 的增加 ， 2xy? 減少的越來(lái)越慢； 當(dāng) x ? 0時(shí)， 隨著 x 的增加， 反之 2xy? 增加的越來(lái)越快． 3．若 xxfxxf c o s)(,s in)( ??? 則 ； 4．若 xxfxxf s in)(,c o s)( ???? 則 ； 5．若 )0(ln)(,)( ???? a