函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用畢業(yè)論文(參考版)
2025-06-21 20:37本頁(yè)面
【正文】 感謝老師對(duì)我論文的指導(dǎo)，幫我解決了一些疑難問題，令我豁然開朗、柳暗花明。非常感謝我的畢業(yè)設(shè)計(jì)指導(dǎo)老師——?jiǎng)①焕蠋煂?duì)我的畢業(yè)論文進(jìn)行了悉心的指導(dǎo)，并提出了很多的寶貴意見。更感謝我含辛茹苦的父母親，他們都是農(nóng)民，他們沒有文化，他們不能給予我榮華富貴，但是他們是我最親愛的人，他們給予了他們能夠給予我的父愛母愛，給予了我做人的最基本的道理。在這四年里，幸運(yùn)的讓我遇到了這么多令我受益匪淺的老師、同學(xué)，正是在他們的關(guān)懷幫助下，我才能從懵懂之童,成長(zhǎng)到今天,才能順利的完成這次的畢業(yè)論文。展望未來，隨著相關(guān)理論基礎(chǔ)的不斷充實(shí)，函數(shù)單調(diào)性將會(huì)在解決實(shí)際問題中發(fā)揮更大的作用，諸如計(jì)算飛船下落回收時(shí)間，計(jì)算物種成長(zhǎng)繁殖速度問題等，這些在目前看來尚不能精確掌握的問題都會(huì)迎刃而解。本文的創(chuàng)新點(diǎn)在于不僅對(duì)單調(diào)性在解決數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用進(jìn)行了分類歸納，更深入例舉了函數(shù)單調(diào)性在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用，像如何做到使材料最省、利潤(rùn)最大，優(yōu)化路徑等。由此可知，車站建于之間并且與相距處時(shí)，運(yùn)費(fèi)最省。（3）依題意得當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；故時(shí)，取得最大值，,即彎矩最大處在跨中位置。 單調(diào)性在結(jié)構(gòu)工程中的應(yīng)用例1 如下圖所示，此簡(jiǎn)圖為一常見的框架梁結(jié)構(gòu)圖。(2)，即為在約束條件 下， 求的最大值．作拉格朗日函數(shù)求函數(shù)的各個(gè)偏導(dǎo)數(shù)，并令它們?yōu)?，得方程組：并和條件聯(lián)立解得。 所以最大利潤(rùn)為萬元。則為惟一的駐點(diǎn)。(1)在廣告費(fèi)用不限的情況下，求最佳廣告策略；(2) 若提供的廣告費(fèi)用為總額1．5萬元，求相應(yīng)最佳廣告策略。因駐點(diǎn)唯一，且實(shí)際問題必有最大產(chǎn)出量，故在兩種原料投入的總費(fèi)用為（萬元）時(shí)，這兩種原料的投入量為（噸），（噸），可使該產(chǎn)品的產(chǎn)出量最大。兩種原料的價(jià)格分別為與（單位：萬元噸）。由,得=，函數(shù)在上連續(xù)，故必有最大值和最小值，則當(dāng)變化時(shí)的變化情況如下表：表 41 0 +00 遞增極大值 遞減0由表可知= =。 單調(diào)性在材料合理利用中的應(yīng)用例1 圓柱形金屬飲料罐的容積一定時(shí)，它的高與底面半徑應(yīng)怎樣選取使所用材料最??？解：金屬飲料罐高為，底面半徑為，材料最省即是表面積最小，且表面積是關(guān)于和的二元函數(shù)，則=+.由常數(shù)（定值），則 =2++（為常數(shù)） 令,則,代入，得，即。解：因?yàn)樗约从幸驗(yàn)椋环猎O(shè)，在上單調(diào)遞增，則，所以，即。函數(shù)單調(diào)性運(yùn)用于比較大小的一般做法：首先運(yùn)用導(dǎo)數(shù)等方法判斷函數(shù)在區(qū)間的單調(diào)性，然后利用以上性質(zhì)在嚴(yán)格單調(diào)的區(qū)間內(nèi)比較大小。例2 設(shè)實(shí)數(shù)滿足條件求的值解：設(shè)，有,因?yàn)?又,令即為單調(diào)增函數(shù)且為奇函數(shù)，所以，即有。解：由，所以,都是方程的根。 單調(diào)性在化簡(jiǎn)求值方面的應(yīng)用對(duì)于求代數(shù)式的值，可視為相應(yīng)函數(shù)的一個(gè)特殊值，再利用該函數(shù)的單調(diào)性，把函數(shù)值的相等轉(zhuǎn)化為自變量的相等，有時(shí)能巧妙獲解。解：設(shè)則有因?yàn)椋栽谏鲜窃龊瘮?shù)，即原方程與方程同解，即為方程：的解。例 2 當(dāng)時(shí)，解方程。例 1 求解方程： 解：令因?yàn)闉樵谏系膯握{(diào)遞增連續(xù)函數(shù)，且有即在[2,6]上只有一個(gè)根。求證：證明: 將上限改寫成，設(shè)輔助函數(shù)為則（因?yàn)椋?，所以單調(diào)遞減，故,所以單調(diào)遞減。證明: 令 ,則有,，即，所以為單調(diào)遞增函數(shù)，即。當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),，又，故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值是0。例 1 求證：證明：令,函數(shù)的定義域是。結(jié)論3 設(shè)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)則有。結(jié)論1 設(shè)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)且滿足如下條件：（1）時(shí)，則有；（2）時(shí)，則有。又，因此在上的最大值為。故在上的最大值就是在上的最大值。例7 設(shè)，求的最大值。解：由原式得所以由 得,此時(shí)有。例6 已知為實(shí)數(shù),。最后比較所有這些函數(shù)值，最大者為最大值，最小者為最小值。設(shè)在上連續(xù)，那么在上一定取得最大值和最小值，內(nèi)可導(dǎo)或只有個(gè)別的不可導(dǎo)點(diǎn)，則可以用以下方法求出和及相應(yīng)的最大值與最小值。關(guān)于極小值也類似。解：設(shè)所求平面方程為因?yàn)槠矫孢^點(diǎn)，所以該點(diǎn)坐標(biāo)滿足此平面方程，即有 (1)設(shè)所求平面與三個(gè)坐標(biāo)平面所圍立體的體積為V， 則 (2)原問題化為求目標(biāo)函數(shù)（2）在約束條件（1）下的最小值．作拉格朗日函數(shù) (3)求函數(shù)L的各個(gè)偏導(dǎo)數(shù)，并令它們?yōu)?，得方程組：由此方程組和（1）解得a = b = c = 3.由于最小體積一定存在，且函數(shù)有惟一的駐點(diǎn)，故為所求，即平面與坐標(biāo)面在第一卦限所圍物體的體積最小，最小體積為。不過在實(shí)際問題中，往往可以根據(jù)問題本身的性質(zhì)來判定所求的點(diǎn)是不是極值點(diǎn)。于是，求函數(shù)在條件的極值的拉格朗日乘數(shù)法的基本步驟為：（1）構(gòu)造拉格朗日函數(shù)其中
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