利用導數(shù)研究函數(shù)的性態(tài)畢業(yè)論文-閱讀頁
2025-01-31 10:41本頁面
【正文】 導函數(shù)在點取極值的必要條件是.注 函數(shù)連續(xù)但不可導的點處,也可以為極值,另一方面,. 定理1（極值的第一充分條件）設在點連續(xù),在某鄰域內(nèi)可導.1 若當時,當時,則在點處取得極小值.2 若當時,當,則在點處取得極大值. 注 ,則必不是極值. ,并且為極值,也未必存在某鄰域使（）,左右側(cè)鄰域?qū)?shù)反號是極值的充分條件而不是必要條件. 定理2 (極值的第二充分條件)設在的某鄰域內(nèi)一階可導,在=處二階可導,且=, ,⑴ 若,則在取得極大值。 當時, 在取得極小值。 解 的定義域為, 令 ,又 由極值的第二充分條件可知 ,是極大值 ,是極小值. 例4 試求函數(shù)的極值. 解 由于,因此是函數(shù)的三個穩(wěn)定點,的二階導數(shù)為,由此可得,有,.由于為奇數(shù),在取得極大值.綜上所述,為極大值,為極小值.總結(jié)求極值的方法步驟:⑴求可疑點,可疑點包括ⅰ）穩(wěn)定點（亦稱駐點或逗留點,皆指一階導數(shù)等于零的點。ⅲ）區(qū)間端點.⑵對可疑點進行判斷的基本方法：①直接利用定義判斷。⑶查看一階導數(shù)的符號,當x從左向右穿越可疑點若的符號,由“正”變?yōu)椤柏摗眲t為嚴格極大值；由“負”變?yōu)椤罢眲t為嚴格極小值。⑵如果函數(shù)在區(qū)間上可導且僅有一個駐點, 則當為極大值點時, 亦為最大值點。⑶若函數(shù)在內(nèi)可導且僅有一個極大(或小)值點, 則該點亦為最大(或小)值點。若,則曲線有水平漸近線.當與是無理函數(shù)時,沿與的最高次冪分別是正數(shù)與,若則曲線有斜漸近線。⑵考察函數(shù)是否具有某些特性（奇偶性、周期性）。⑷求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值列表。⑹確定一些特殊點如曲線與坐標軸的交點,容易計算函數(shù)值的一些點().⑺綜合上述討論結(jié)果畫出函數(shù)圖象. 典型例題分析 例9 作出函數(shù)的圖形. 解 由題意知函數(shù)的定義域為,易知,是函數(shù)與坐標軸的交點,令有,是的兩個駐點,是不可導點,令有, ,是拐點,所以列表如下:不存在－－不存在不存在 ,是垂直漸近線, , 其斜漸近線為 以上討論運用導數(shù)研究函數(shù)性態(tài)為進一步研究函數(shù)性質(zhì)提供了依據(jù),解決了函數(shù)單調(diào)性、極值、最值、圖象等問題，,并且對高中導數(shù)部分的學習和教學也具有一定的指導意義. 參考文獻：【1】劉玉璉、傅沛仁.《數(shù)學分析講義》第四版. .【2】蔡燧林、胡金德.《數(shù)學輔導講義》.【3】華東師范大學數(shù)學系.《數(shù)學分析》.【4】錢吉林.《數(shù)學分析題解精粹》.【5】裴禮文.《數(shù)學分析中的典型問題與方法》.13
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