利用導數(shù)研究函數(shù)的性態(tài)畢業(yè)論文(存儲版)
【正文】 點.注 若()是曲線的一個拐點,在點的導數(shù)不一定存在,如在的情形. （拐點必要條件） 若()為拐點,則要么（1）；要么（2）在點不可導. 定理1 設(shè)函數(shù)在開區(qū)間是凸函數(shù)（凹函數(shù)）,且,有. 推論 若函數(shù)在開區(qū)間存在二階導數(shù),⑴,有,則函數(shù)在區(qū)間上嚴格凸函數(shù)； ⑵,有,則函數(shù)在區(qū)間上嚴格凹函數(shù). 定理2 設(shè)函數(shù)在開區(qū)間可導,函數(shù)在內(nèi)是凸函數(shù)（凹函數(shù)）曲線位于它的任意一點切線. 若函數(shù)存在二階導數(shù),討論函數(shù)得凹凸性和拐點可按下列步驟進行:第一步：求函數(shù)二階導函數(shù)；第二步：令,；第三步：判別在每個小區(qū)間的符號,設(shè),由下表可知函數(shù)得凹凸性和拐點.c曲線上的點+(嚴凸)0（嚴凹）拐點（嚴凹）0+(嚴凸)拐點+(嚴凸)0+(嚴凸)非拐點（嚴凹）0（嚴凹）非拐點 例7 討論函數(shù)的凹凸性及其拐點. 解 函數(shù)的定義域是, ,：.列表如下：01+0_0+嚴凸拐點嚴凹拐點嚴凸顯然在與是嚴凸,. 注 若曲線的拐點,在的導數(shù)不一定存在. 定義 當曲線上動點沿著曲線無限遠移時,若動點到某直線的距離無限趨近于,則稱直線是曲線的漸近線. 曲線的漸近線包括三種：水平漸近線、垂直漸近線、斜漸近線. 若,則是一條水平漸近線；又有,則也是一條（若,則當然只能算一條）.若存在,使（或）則是一條垂直漸近線,這樣的先由觀察法觀得,一般考慮分母為零處、對數(shù)的真數(shù)為零處. 是曲線的一條漸近線的充要條件是,.,即為水平漸近線. 例8 求的漸近線. 解 已知,.則是曲線的垂直漸近線.又有 .直線,即是曲線的漸近線.注 無窮區(qū)間的曲線具有什么樣的性質(zhì)才是具有漸近線？由觀察不難得到以下的簡易判別法：設(shè),當與都是連續(xù)函數(shù)時,若且,則直線是曲線的垂直漸近線.當是次多項式,是次多項式（）,若則曲線有斜漸近線。⑸求出函數(shù)的凹凸區(qū)間和拐點、列表。 當為極小值點時, 亦為最小值點。⑵ 當為奇數(shù)時, 在=處無極值. 例3 求的極值。②在內(nèi)的任何子區(qū)間上不恒等于. ⑵ 在內(nèi)嚴格遞減 ①,有。⑵在遞減,.定理2 若函數(shù)在內(nèi)可導,則內(nèi)單調(diào). ⑴ 在內(nèi)嚴格遞增 ①,有。 當時, 在取得極小值。⑵如果函數(shù)在區(qū)間上可導且僅有一個駐點, 則當為極大值點時, 亦為最大值點。⑷求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值列表。若,則曲線有水平漸近線.當與是無理函數(shù)時,沿與的最高次冪分別是正數(shù)與,若則曲線有斜漸近線。ⅲ）區(qū)間端點.⑵對可疑點進行判斷的基本方法：①直接利用定義判斷。 ③用上述
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