【正文】 來。時(shí)間安排第1周到第3周： 對(duì)論文題目有個(gè)大致的了解，通過查閱資料和請(qǐng)教老師確定論文的方向，并完成開題報(bào)告。在生活中也經(jīng)常會(huì)遇到求利潤最大化、用料最省、效率最高等問題。注意的方程相當(dāng)于方程,和所以，在二元的情況下，Lagrange函數(shù)為，并且我們需要解決以下方程:,和. (3) 一個(gè)鞍點(diǎn)，如果點(diǎn)既不是局部極大值點(diǎn)也不是局部極小值點(diǎn).假如是一個(gè)充分光滑的三元函數(shù)，且在點(diǎn)處穩(wěn)定，其Hessian 矩陣為H .如果，則根據(jù)偏導(dǎo)數(shù)判定點(diǎn)是： (1) 一個(gè)局部極大值點(diǎn)， 如果當(dāng)0det(H1), 0det(H2) 并且 0det(H3)時(shí)。x,177。A continuous function on a closed bounded set is bounded and achieves its bounds.(2) a local minimum iffor all points sufficiently close to 。四年的求學(xué)生涯在師長、親友的大力支持下，走得辛苦卻也收獲滿囊，在論文即將付梓之際，思緒萬千，內(nèi)心充滿了無限的感激之情。又，則原點(diǎn)到這個(gè)橢圓的的最長和最短距離分別為和 二次方程判別式法求極值二次方程判別式法[17]在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用很廣泛，在眾多的期刊與學(xué)術(shù)報(bào)告中都提到其的應(yīng)用。解：設(shè)長方體的三棱長為，則長方體的體積為，原問題就轉(zhuǎn)化為求方程所給處的目標(biāo)函數(shù)在約束條件下長方體體積的條件極值，由與，可得解聯(lián)立方程組得方程組的解為由實(shí)際意義及問題本身可知其極大值一定存在，也即其最大值，所以點(diǎn)就是原方程的最大極值點(diǎn)。若函數(shù)在點(diǎn)處取得極值，則在條件下在點(diǎn)處也取得極值，且同取極大值和極小值。例9[12] 求表面積為而體積最大的長方體的體積。點(diǎn)為的極小值點(diǎn)，極大值為.例2 求函數(shù)的極值解 ：易得的定義域?yàn)?，在上連續(xù)，有解，得穩(wěn)定點(diǎn)，又 因此不是函數(shù)的極值點(diǎn)， 由定理2可知，是函數(shù)的極大值點(diǎn)故函數(shù)的極大值為，無極小值.例3 求函數(shù)的極值[4]解：，解得是函數(shù)的三個(gè)穩(wěn)定點(diǎn).函數(shù)的二階導(dǎo)函數(shù)為則，由定理3可知，在時(shí)取得極小值其極小值為：函數(shù)的三階導(dǎo)函數(shù)為則，.由于是奇數(shù)，有定理3可知，在不取極值函數(shù)的四階導(dǎo)函數(shù)為則，是偶數(shù)，有定理3可知，在取極大值綜上所述，可知函數(shù)為極大值為極小值第3章 二元函數(shù)極值的求解方法 二元函數(shù)極值定義定義2設(shè)二元函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義,對(duì)該鄰域內(nèi)任一異于的點(diǎn), (1)如果,則稱是函數(shù)的極大值，點(diǎn)為函數(shù)的一個(gè)極大值點(diǎn)。該點(diǎn)就相應(yīng)地稱為一個(gè)極值點(diǎn)或嚴(yán)格極值點(diǎn)。這些諸多理論與實(shí)際有機(jī)的結(jié)合起來，這不僅為科研打下了良好的基礎(chǔ)，也為諸多領(lǐng)域的實(shí)際工作提供了便捷，比如在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、經(jīng)濟(jì)管理和經(jīng)濟(jì)核算中，解決在一定條件下怎么使投入最小，產(chǎn)出最多，效益最高等問題。如果最大值或最小值不是邊界點(diǎn)，那么就一定是內(nèi)點(diǎn)，因而是極值點(diǎn)。(2) 由方程組解出, 其中就是所求條件極值的可能的極值點(diǎn).注[8] ：乘數(shù)法只給出函數(shù)取極值的必要條件, 因此按照這種方法求出來的點(diǎn)是否為極值點(diǎn), 還需要加以討論. 不過在實(shí)際問題中, 往往可以根據(jù)問題本身的性質(zhì)來判定所求的點(diǎn)是不是極值點(diǎn).例6 求函數(shù)在條件下的極值.解：由乘數(shù)法，設(shè)函數(shù)為解方程組 解得 得駐點(diǎn) 又 所以 故 是極小值點(diǎn).極小值為 第4章 多元函數(shù)極值的求解方法 多元函數(shù)極值（）定義定義3 設(shè)多元函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義,對(duì)于該鄰域內(nèi)任何點(diǎn),成立不等式 (或),則說函數(shù) 在處取極大值(或極小值),點(diǎn)稱為函數(shù)的極值點(diǎn). 梯度定義4 設(shè)n元函數(shù)在點(diǎn)具有偏導(dǎo)數(shù)，則稱向量[]為函數(shù)在點(diǎn)的梯度，記作,即 [] 矩陣 定義5 設(shè)n元函數(shù)在點(diǎn)點(diǎn)具有二階偏導(dǎo)數(shù)，則稱矩陣為函數(shù)在點(diǎn)的矩陣，若二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則是實(shí)對(duì)稱矩陣. 多元函數(shù)極值必要條件定理1設(shè)元函數(shù)在點(diǎn)存在偏導(dǎo)數(shù)，且在該點(diǎn)取得極值，則，即.（滿足的點(diǎn)稱為元函數(shù)的駐點(diǎn)） 證：元函數(shù)在點(diǎn)取得極值,令 分別等于，即可得一元函數(shù)在點(diǎn)處取得極值，于是有，同理，因此， 多元函數(shù)極值充分條件　定理 2[9] 設(shè)多元函數(shù) 在 的某鄰域內(nèi)存在一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 又則:（1） 當(dāng)是正定矩陣時(shí), 函數(shù)在點(diǎn)取得極小值。也就是說，表面積為的長方體中，以棱長為的正方體體積最大，最大體積。例10 拋物面被平面截成一個(gè)橢圓，求這個(gè)橢圓到坐標(biāo)原點(diǎn)的最長和最短距離 解：這個(gè)問題的實(shí)質(zhì)是求函數(shù)在約束條件 與 下的最大值和最小值問題，應(yīng)用乘數(shù)法，令 求其對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)，有，解方程組 ，得函數(shù)的兩個(gè)駐點(diǎn)因?yàn)楹瘮?shù) 在有界閉集 上連續(xù)，必有最大值和最小值，而求得的穩(wěn)定點(diǎn)又恰是兩個(gè)，所以它們一個(gè)是最大點(diǎn)，另一個(gè)是最小。函數(shù)在點(diǎn)處的梯度向量，；設(shè)為個(gè)條件相交部分的方程，其中是一些固定的常數(shù)，這樣我們就可以把多個(gè)條件轉(zhuǎn)化了為一個(gè)條件，而曲面在點(diǎn)處的法向量為:，其中；設(shè)曲面在點(diǎn)處的切平面上的一個(gè)切向量為：，可以得到一個(gè)切向量，如令，則，消去，于是得到切平面上的一個(gè)切向量，類似可以得到另外的個(gè)向量，…。例13 若,試求的極值.解: 由得,代入得整理得： ①則有: ②即 ③解關(guān)于的二次不等式③,得: ④顯然,求函數(shù)的極值, 相當(dāng)于求 ⑤或 ⑥的極值.由⑤式得 ⑦關(guān)于的二次方程要有實(shí)數(shù)解,必須, 即 ⑧解此關(guān)于的二次不等式,把代入⑦得：,再把，代入①,得,最后把，代入，得.所以,當(dāng),時(shí),函數(shù)達(dá)到極大值3.同理可得,當(dāng),時(shí),函數(shù)達(dá)到極小值3.所謂標(biāo)準(zhǔn)量代換法[17]，就是在求某些多個(gè)變量的條件極值時(shí)，我們可以選取某個(gè)與這些變量有關(guān)的量作為標(biāo)準(zhǔn)量，稱其余各量為比較量，然后將比較量用標(biāo)準(zhǔn)量與另外選取的輔助量表示出來,這樣就將其變?yōu)檠芯繕?biāo)準(zhǔn)量與輔助量間的關(guān)系了. 如果給定條件是幾個(gè)變量之和的形式，一般設(shè)這幾個(gè)量的算術(shù)平均數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)量.例14 設(shè),求的最小值.解：取為標(biāo)準(zhǔn)量, 令,則 (為任意實(shí)數(shù))，從而有(等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)成立). 最小值為結(jié) 束 語本文通過從一元函數(shù)極值的問題開始進(jìn)行研究，包括一元函數(shù)的極值多種求解方法，其次為二元函數(shù)的常用求解，再逐步推廣到多元函數(shù)極值的各種求解方法。在此我要向楊老師表示我最誠摯的謝意和最崇高的敬意！同時(shí)也要感謝參考文獻(xiàn)中的作者們，因?yàn)槟銈兊呢暙I(xiàn)，讓我順利的完成我的論文。(5) a local or global extremum if it is a local or global maximum or minimum.Definition Let and . The point a is said to be critical or stationary point if and a singular point if does not exist at .Fact Let and .If has a local or global extremum at the point , then must be either:(1) a critical point of , or(2) a singular point of , or(3) a boundary point of .Fact If is a continuous function on a closed bounded set then is bounded and attains its bounds.Definition A critical point which is neither a local maximum nor minimum is called a saddle point.Fact A critical point is a saddle point if and only if there are arbitrarily small values of for which takes both positive and negative values.Definition If is a function of two variables such that all second order partial derivatives exist at the point , then the Hessian matrix of at is the matrixwhere the derivatives are evaluated at.If is a function of three variables such that all second order partial derivatives exist at the point , then the Hessian of f at is the matrixwhere the derivatives are evaluated at.Definition Let be an matrix and, for each ,let be the matrix formed from the first rows and columns of .The determinants det(),are called the leading minors of Theorem (The Leading Minor Test). Suppose that is a sufficiently smooth function of two variables with a critical point atand H