【正文】 如果 是二元函數，并且在點處所有二階偏導數都存在，則則根據函數在點處導數，有在點處的Hessian矩陣為：.推廣：如果 是三元函數，并且在點處所有二階偏導數都存在，則根據函數在點處導數，有在點處的Hessian矩陣為：.定義 矩陣是 階矩陣，并且對于每一個都有,從矩陣中選取左上端的行和列，(),叫做矩陣的順序主子式. 定理 假如是一個充分光滑的二元函數，且在點處穩(wěn)定，其Hessian 矩陣為H .如果，則根據偏導數判定點是：(1) 一個局部極大值點， 如果0det(H1) = fxx并且0det(H)=。 (2) 一個局部極小值點， 如果0det(H1) = fxx并且0det(H)=。 (3) 一個鞍點，如果點既不是局部極大值點也不是局部極小值點.假如是一個充分光滑的三元函數，且在點處穩(wěn)定，其Hessian 矩陣為H .如果，則根據偏導數判定點是： (1) 一個局部極大值點， 如果當0det(H1), 0det(H2) 并且 0det(H3)時。(2) 一個局部極小值點， 如果當0det(H1), 0det(H2) 并且 0det(H3)時。(3) 一個鞍點，如果點既不是局部極大值點也不是局部極小值點. 在不同的情況下 ,當det(H)= 0時, 點是一個局部極值點，或者是一個鞍點.關鍵點.在有界閉集上的連續(xù)函數有邊界，并且可以取到其邊界值.當確定函數在有界閉集上的極值時，必須考慮函數在穩(wěn)定點(即時), 奇異點 (當不存在時) 和邊界點(點在集合的邊緣)處的函數值.穩(wěn)定點可以分為局部極大值點、局部極小值點或鞍點. 對于穩(wěn)定點，當應用定理 不能分類時，在二元情況下，如果在點處的點是穩(wěn)定點，我們可以考慮函數的符號，當和任意小(和可為正值和負值,但不同時為0)時. 例. 確定下列函數的穩(wěn)定點并說明是哪一類點: (1) (2) 解. (1) ,soijk當時有穩(wěn)定點,也就是說, 當 (1) (2) (3) 時,將方程(2)和方程(3)帶入到方程(1)可以消去變量y和z, 由此可以得到即,得,:,和. 又因為,和,則Hessian矩陣為 在點處, 則順序主子式 0,，則點是一個局部極小值點. 在點處, 則順序主子式 0,，則點也是一個極小值點. 在點處，Hessian矩陣為因此det,根據主子式判定方法，第一主子式為0，由此我們可以知道該點是一個鞍點. 下面是另一種計算方法，在這種情況下，我們考慮現在下面函數表達式，的值，對于任意h, k和l無限小時. 擔當h, k和l非常小時, 三次及三次以上方程相對線性二次方程時可忽略不計, k和l 都為正時,.然而， 當、和,同時增加或者同時減少, 所以 是一個鞍點.(2) soij.當時有穩(wěn)定點,也就是說, 當在時. 現在我們在不考慮主子式判定方法的情況下為該穩(wěn)定點進行分類（因為在時Hessian矩陣的行列式為0，所以該判定方法在此刻無法應用）.令配成完全平方的形式為所以對h和k為任意小時（h和k都不為0），有，因此我們可以確定函數f 在點處有局部極大值.2. 條件極值和Lagrange乘數法定義 (x) = 0下的函數f (x)的極值叫做函數的條件極值，函數g(x) = 0叫做限制條件.定義 如果函數 是一個n元函數, 則對應于函數f 的Lagrange函數在限制條件下的函數是一個n+1元函數這就是著名的Lagrange乘數法. 對應于函數f 的Lagrange函數在k 個限制條件,時, 帶有k個的Lagrange函數為：關鍵點.確定在限制條件g(x) = 0下的函數極值: (1) 計算, 并且記住其是一個含有n+1個變量（和）的函數 (2) 得出使的值 (不需要明確的算出相對應的的值): (3) 計算在這些所有點處的函數f的值，并找出所需的極值.注意的方程相當于方程,和所以，在二元的情況下，Lagrange函數為，并且我們需要解決以下方程:,和.當限制條件大于一個時，我們則需要解決以下方程.定理 使并且是曲線C上的一個點, 有方程 g(x,y) = 0成立，則在限制條件C ，點不是曲線的端點，且. 因此存在的值使得點是Lagrange函數的關鍵點.. 因為點不是曲線的端點，且,則曲線在點處的切線與有關. 如果在點處與平行， f 的值隨著在的運動增加減小,所以點不是極值點. 因為和平行，所以存在使得成立. 例. 求內接于橢球的體積最大的長方體的體積，長方體的各個面平行于坐標面 解：明顯地，當長方體的體積最大時，長方體的各個頂點一定在橢球上. 設長方體的一個頂點坐標為(x, y, z) (x0, y0, z0), 則長方體的其他頂點坐標分別為(177。x,177。y,177。z)，并且長方體的體積為V= 8xyz. 我們要求V在條件下的最大值. (注意：因為約束條件是有邊界的，故其一定存在極大或者極小值). 其Lagrange函數為并且存在穩(wěn)定點當時，也就是說，當 時.(注意：，假設 ，則可得.)因此, 用其他式子表示, 我們可以得到消去，有和進而得出 ，因此有 或者得出,同理可得出和 (根據假設可得x, y, z都是正值). 所以函數 L有且僅有一個穩(wěn)定點(為某一計算可得到的常數). 又因為該點是函數L 的唯一穩(wěn)定點，則該穩(wěn)定點一定是所要求的最大值點，故其體積的最大值為.附錄三： 畢業(yè)設計（論文）任務書（函數極值的幾種求法）一、畢業(yè)設計（論文）目的掌握科學研究的基本方法；掌握查閱文獻的基本技能；增強與提高學習掌握新知識及利用數學理論解決實際問題的能力.二、主要內容主要研究函數極值的一些求法。三、重點研究問題重點研究多元函數極值的一些求法。四、主要技術指標或主要參數通過查找、收集、整理資料，認真細致閱讀相關參考文獻，借助所學數學知識和理論，尤其是數學分析方面極限理論、微積分理論，通過對傳統(tǒng)函數極值求法的深入再學習，研究幾類函數的無條件極值和約束條件極值的一些新的求法五、基本要求完成15000字以上的論文，2000字以上的外文翻譯六、其它（包括選題來源）需要基礎知識：數學分析等專業(yè)課知識。選題來源：自選 指導教師： 年 月 日附錄四：華北水利水電學院本科生畢業(yè)設計開題報告 2012年3月7日學生姓名 學號 專業(yè)數學與應用數學題目名稱函數極值的幾種求法課題來源自 選選題依據一、研究的意義函數的極值一直是數學研究的重要內容之一，由于它的應用廣泛，在工農業(yè)生產、經濟管理和經濟核算中，常常要解決在一定條件下怎么使投入最小，產出最多，效益最高等問題。在生活中也經常會遇到求利潤最大化、用料最省、效率最高等問題。因此解決這些問題具有現實意義,通常這些經濟和生活問題都可以轉化為數學中的函數問題來探討，進而轉化為求函數中最大（小）值的問題，也即函數的極值問題。二、國內研究情況在函數極值問題中，尤其是多元函數，其涉及到的量比較多，在求解某類形式上比較復雜的函數的極值問題比較困難。目前國內函數極值主要的求解方法有代入法、拉格朗日乘數法、標準量代換法、不等式法、二次方程判別式符號法、梯度法、數形結合法等等方法。研究內容研究目標擬解決的關鍵問題一、研究內容 在本文中，主要研究函數極值的一些求法，特別研究多元函數極值以及無條件函數極值和條件函數極值的一些求法。二、研究目標 文章將從一元函數極值的問題開始進行研究，包括一元函數中含參量函數的極值求解方法，其次為二元函數的常用求解，再逐步推廣到多元函數極值的各種求解方法，對各種函數極值的解題方法進行了歸納與總結，并通過具體實例對各種解法進行分析類比，從中可以得出不同的函數極值問題可以有不同的解題方法，力爭總結出一些新的解題方法或者對某種算法進行適當性的改進。三、擬解決的關鍵問題 重點研究多元函數極值的一些求法，通過對傳統(tǒng)函數極值求法的深入再學習，特別研究幾類函數的無條件極值和約束條件極值的一些新的求法。采取的主要技術路線或方法 參考大量的相關的書籍以及相關論文，通過如中國學術期刊網、萬方數據資源系統(tǒng)、中國知網等中文數據庫及外文數據庫的檢索收集資料； 借助所學數學知識和理論，尤其是數學分析方面極限理論、微積分理論，深入分析題目，提出提綱，確定論文思路； 整理各種函數極值（尤其是多元函數極值、函數的無條件極值和約束條件極值）求解方法，對求解函數極值的求解方法做一總結； 對各種方法進行對比，分析，并對函數極值的求法進行深入；預期的成果及形式通過對求函數極值的不同求解方法進行深入探研，并最終形成15000字的論文。時間安排第1周到第3周： 對論文題目有個大致的了解，通過查閱資料和請教老師確定論文的方向，并完成開題報告。第4周到第5周： 進行資料查閱，知識的回顧復習，以確定主要努力的方向和目標。第6周到第12周：整理相關資料，進行認真的思索，爭取做到不放過任何細節(jié)，并擁有自己的想法，以論文形式記錄下來。第13周到第14周：最終完成畢業(yè)論文，進行論文答辯。指導教師意見簽 名：年 月 日備注參考文獻：[1] [J]. 臨沂師專學報, 1999(12):2124. [2] [J].綿陽師范學院學報，2008，27（2）：1415.[3] 陳紀修，於崇華，—2版[M].北京：高等教育出版社，[4] ：高等教育出版社，[5] [J].綿羊師范學院學報，(2)：1415.[6] 肖翔，[J]，上海工程技術大學教育研究，2006(1): 3537[7] 莫國良，關于用代入法求條件極值的一點注記[J]，高等數學研究，2004(3):4249。xx