【正文】 n Let and . The point a is said to be: (1) a local maximum iffor all points sufficiently close to 。致 謝四年的讀書生活在這個季節(jié)即將劃上一個句號，而于我的人生卻只是一個逗號，我將面對又一次征程的開始。又曲面在點的切平面上有兩個向量，和，把這兩個向量與作內(nèi)積，使其為0；則可得到下列方程組：解方程組：解得其函數(shù)的駐點為，；由題意知，函數(shù)在有界閉集上連續(xù)，則函數(shù)必有最大值和最小值，而求得的穩(wěn)定點又恰是兩個，所以它們一個是極大值點，另一個是極小值點。③ 對解出的可能的條件極值點加以判斷. 例11 求表面積為而體積最大的長方體的體積。利用上述方法只是求出駐點，還需要進(jìn)一步判斷。代入直接求解由等式條件所構(gòu)成的方程組消去問題中的某些變量，將原問題轉(zhuǎn)化為無條件極值問題[11]．從另外一種形式上講，代入法就是采用降維的原理將多元函數(shù)的條件極值問題轉(zhuǎn)化為無條件極值的函數(shù)極值問題.例8求函數(shù)在條件下的極值.解：由解得，將上式代入函數(shù)，得解方程組 ， 解得駐點又， 在點處，則， ∴不是極值點在點處，則，且∴為極小值點綜上所述，函數(shù)在點處有極小值，極小值為. 乘數(shù)法求極值在求解二元函數(shù)條件極值的方法同樣也適用于多元函數(shù)（）條件極值的求解，通過構(gòu)造拉格朗日函數(shù)，解出相對應(yīng)的解，對解出的結(jié)果進(jìn)行判斷，從而判定多元函數(shù)條件極值的極值。(2)都有，則稱是函數(shù)的一個極小值，點為函數(shù)的一個極小值點.極大值和極小值統(tǒng)稱為極值，極大值點和極小值點統(tǒng)稱為極值點. 一元函數(shù)極值的充分必要條件函數(shù)的極值不僅僅在實際問題中占有非常重要的地位，而且也是函數(shù)性態(tài)的一個重要特征. 一元函數(shù)極值的必要條件費馬定理[1]告訴我們，若函數(shù)在點可導(dǎo)，且為的極值點，. 下面討論充分條件. 極值的第一充分條件定理1設(shè)在點處連續(xù)，在某一鄰域內(nèi)可導(dǎo).①若當(dāng)時，當(dāng)時，則函數(shù)在點取得極小值.②若當(dāng)時，當(dāng)時，則函數(shù)在點 取得極大值.③如果在點的鄰域內(nèi)，不變號，則函數(shù)在點沒有極值，即不是 的極值點.證：由單調(diào)函數(shù)的增減性充要條件，在區(qū)間I上可導(dǎo)，在I上增（減）的充要條件是則對于①：在內(nèi)遞減，在內(nèi)遞增，又由在處連續(xù)，故對任意，恒有即在處取得極小值.同理，對于②，在處取得極大值；對于③，由于在點的鄰域內(nèi) 不變號，故對任意，不能恒有（或），即不能判定在處取得極小值（或極大值），也就是說函數(shù)在點沒有極值， 不是的極值點.若函數(shù)是二階可導(dǎo)函數(shù)，則有如下班別極值定理. 極值的第二充分條件定理2[2] 設(shè)在的某一鄰域內(nèi)一階可導(dǎo)，在處二階可導(dǎo)，且,.①若，則函數(shù)在點取得極大值.②若，則函數(shù)在點取得極小值.證：由條件，可得在處的二階泰勒公式由于，因此 (1)又因，故存在正數(shù)，當(dāng)時，當(dāng)，(1)式取負(fù)值，從而對任意有，可得在處取極小值.對于應(yīng)用二階導(dǎo)數(shù)無法判斷的問題，可借助更高階的導(dǎo)數(shù)來判斷. 極值的第三充分條件定理3[2]設(shè)在的某一鄰域內(nèi)存在直到階導(dǎo)函數(shù)，在處階可導(dǎo)，且，則①當(dāng)為偶數(shù)時，函數(shù)在點取到極值，且當(dāng)時取極大值，時取極小值.②當(dāng)為奇數(shù)時，函數(shù)在點不取極值. 一元函數(shù)極值的求解方法一元函數(shù)極值的求解步驟[3]如下：（1）確定函數(shù)的定義域；（2）求出，并在定義域內(nèi)求的全部駐點和不可導(dǎo)點（可能極值點）；（3）對于駐點可利用定理l或2判定，考查導(dǎo)函數(shù)在駐點左右鄰近的符號，確定是否是函數(shù)的極值點，如果是極值點，進(jìn)一步確定是極大值點還是極小值點；（4）求出各極值點的函數(shù)值，得到函數(shù)的極值.例1 求的極值點和極值解：易得的定義域為，在上連續(xù)，且當(dāng)時，有顯而易見，為的穩(wěn)定點，根據(jù)定理1 ，現(xiàn)列表如下（表中↗表示遞增，↘表示遞減）：0（0,1）1+不存在－0+↗0↘－3↗則由上表可見：點為的極大值點，極大值為。如果它比鄰域內(nèi)其他各點處的函數(shù)值都大（?。?，它就是一個嚴(yán)格極大（小）。在生活中也經(jīng)常會求利潤最大化、用料最省、效率最高等問題。函數(shù)極值涉及的函數(shù)量比較多，尤其是以多元函數(shù)為主，因此我們在求解函數(shù)極值的過程中經(jīng)常會遇到某些形式上比較復(fù)雜的函數(shù)的極值問題，同時我們在解題的過程當(dāng)中也常常會遇到一些具有條件限制的多元函數(shù)極值的求解，在解這種條件極值的問題時我們必須考慮其限制條件，那么對于我們而言，什么時候什么地方以及如何用這些限制條件就成了我們所關(guān)心的問題。（2） 當(dāng)是負(fù)定矩陣時, 函數(shù)在點取得極大值。乘數(shù)法不僅僅適用于單個約束條件下的條件極值求解，同樣也可以適用于多個約束性條件下的函數(shù)極值求解。應(yīng)用正定判別法：，對于，有顯然矩陣式正定矩陣，是函數(shù)的極小值點，其極小值為.同理對于可得，是函數(shù)的極大值點，其極大值為.即這個橢圓到坐標(biāo)原點的最長和最短距離分別為和 Jacobi矩陣法求極值設(shè)方程 (1)在某鄰域內(nèi)滿足隱函數(shù)存在定理的所有條件,它確定的隱函數(shù)為,又設(shè)約束方程組為 (2)其中, 函數(shù)在上述鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 且彼此獨立.現(xiàn)在要求方程(1)給出的目標(biāo)函數(shù)在約束方程組(2), 設(shè)拉格朗日函數(shù)則目標(biāo)函數(shù)具有條件極值的必要條件是: (3),若目標(biāo)函數(shù)在點取得條件極值, 則 滿足方程組(3).若方程組(3)有解,將代入(3)的前個方程的偏導(dǎo)函數(shù)中, 并用、表示點處的各偏導(dǎo)數(shù)值, 并以為未知數(shù)構(gòu)造線性方程組: (4)顯然方程組(4)有非零解,故方程組(4)的系數(shù)矩陣的秩, 其中由此可知方程組(3)的前個方程的所有解對應(yīng)的函數(shù)矩陣也滿足. 因此矩陣A的后列元素對應(yīng)的函數(shù)矩陣是函數(shù)對于一切自變量的偏導(dǎo)數(shù)所組成的雅可比矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣,由函數(shù)的彼此獨立性知,故所以, 目標(biāo)函數(shù)具有條件極值的必要條件是.將函數(shù)矩陣A 看作是在所討論的某鄰域內(nèi)某點處的各偏導(dǎo)數(shù)所組成的數(shù)值矩陣, 進(jìn)行如下初等變換: 將A的第1列乘以加到第2列。把這個向量與作內(nèi)積并令它們?yōu)?，得到個方程，通過解該方程組以及個極值條件，我們就可以得到極值點的坐標(biāo)。通過對多元函數(shù)條件極值的各種解法及應(yīng)用的介紹，我們知道對于不同的多元函數(shù)其極值有不同的解法，針對不同的題目要求，我們應(yīng)該選擇一種既簡便易行又節(jié)省時間的方法，其中拉格朗日乘數(shù)法是一種通用的方法，也是最常用的方法。感謝母校為我提供的良好學(xué)習(xí)環(huán)境，使我能夠在此專心學(xué)習(xí)，陶冶情操。 (2) a local minimum if 0det(H1) = fxx and 0det(H)=。To find the extreme values of f subject to the constraint g(x) = 0: (1) calculate, remembering that it is a function of the n+1 variables and (2) find values of such that (you do not have to explicitly find the corresponding values of ): (3) evaluate f at these points to find the required extrema.(3)如果對于所有點成立，則是一個全局極大值（或絕對極大值）。當(dāng)確定函數(shù)在有界閉集上的極值時，必須考慮函數(shù)在穩(wěn)定點(即時), 奇異點 (當(dāng)不存在時) 和邊界點(點在集合的邊緣)處的函數(shù)值.z)，并且長方體的體積為V= 8xyz. 我們要求V在條件下的最大值. (注意：因為約束條件是有邊界的，故其一定存在極大或者極小值). 其Lagrange函數(shù)為并且存在穩(wěn)定點當(dāng)時，也就是說，當(dāng) 時.(注意：，假設(shè) ，則可得.)因此, 用其他式子表示, 我們可以得到消去，有和進(jìn)而得出 ，因此有 或者得出,同理可得出和 (根據(jù)假設(shè)可得x, y, z都是正值). 所以函數(shù) L有且僅有一個穩(wěn)定點(為某一計算可得到的常數(shù)). 又因為該點是函數(shù)L 的唯一穩(wěn)定點，則該穩(wěn)定點一定是所要求的最大值點，故其體積的最大值為.附錄三： 畢業(yè)設(shè)計（論文）任務(wù)書（函數(shù)極值的幾種求法）一、畢業(yè)設(shè)計（論文）目的掌握科學(xué)研究的基本方法；掌握查閱文獻(xiàn)的基本技能；增強與提高學(xué)習(xí)掌握新知識及利用數(shù)學(xué)理論解決實際問題的能力.二、主要內(nèi)容主要研究函數(shù)極值的一些求法。研究內(nèi)容研究目標(biāo)擬解決的關(guān)鍵問題一、研究內(nèi)容 在本文中，主要研究函數(shù)極值的一些求法，特別研究多元函數(shù)極值以及無條件函數(shù)極值和條件函數(shù)極值的一些求法。指導(dǎo)教師意見簽 名：年 月 日備注參考文獻(xiàn)：[1] [J]. 臨沂師專學(xué)報, 1999(12):2124. [2] [J].綿陽師范學(xué)院學(xué)報，2008，27（2）：1415.[3] 陳紀(jì)修，於崇華，—2版[M].北京：高等教育出版社，[4] ：高等教育出版社，[5] [J].綿羊師范學(xué)院學(xué)報，(2)：1415.[6] 肖翔，[J]，上海工程技術(shù)大學(xué)教育研究，2006(1): 3537[7] 莫國良，關(guān)于用代入法求條件極值的一點注記[J]，高等數(shù)學(xué)研究，2004(3):4249。三、擬解決的關(guān)鍵問題 重點研究多元函數(shù)極值的一些求法，通過對傳統(tǒng)函數(shù)極值求法的深入再學(xué)習(xí)，特別研究幾類函數(shù)的無條件極值和約束條件極值的一些新的求法。四、主要技術(shù)指標(biāo)或主要參數(shù)通過查找、收集、整理資料，認(rèn)真細(xì)致閱讀相關(guān)參考文獻(xiàn)，借助所學(xué)數(shù)學(xué)知識和理論，尤其是數(shù)學(xué)分析方面極限理論、微積分理論，通過對傳統(tǒng)函數(shù)極值求法的深入再學(xué)習(xí)，研究幾類函數(shù)的無條件極值和約束條件極值的一些新的求法五、基本要求完成15000字以上的論文，2000字以上的外文翻譯六、其它（包括選題來源）需要基礎(chǔ)知識：數(shù)學(xué)分析等專業(yè)課知識。對于穩(wěn)定點，當(dāng)應(yīng)用定理 不能分類時，在二元情況下，如果在點處的點是穩(wěn)定點，我們可以考慮函數(shù)的符號，當(dāng)和任意小(和可為正值和負(fù)值,但不同時為0)時. 例. 確定下列函數(shù)的穩(wěn)定點并說明是哪一類點: