【正文】 言，什么時(shí)候什么地方以及如何用這些限制條件就成了我們所關(guān)心的問題。其定義在一個(gè)有界閉區(qū)域上的每一個(gè)連續(xù)函數(shù)都必定有它的最大值和最小值，問題在于要確定它在哪些點(diǎn)處達(dá)到最大值或最小值。該點(diǎn)就相應(yīng)地稱為一個(gè)極值點(diǎn)或嚴(yán)格極值點(diǎn)。如果一個(gè)函數(shù)在一點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)處處都有確定的值，而以該點(diǎn)處的值為最大（?。@函數(shù)在該點(diǎn)處的值就是一個(gè)極大（?。┲?。在生活中也經(jīng)常會求利潤最大化、用料最省、效率最高等問題。函數(shù)極值的幾種求法畢業(yè)論文目 錄摘 要 IAbstract II第1章 緒 論 1 1 1第2章 一元函數(shù)極值的求解方法 2 一元函數(shù)極值定義 2 一元函數(shù)極值的充分必要條件 2 一元函數(shù)極值的必要條件 2 極值的第一充分條件 2 極值的第二充分條件 3 極值的第三充分條件 4 一元函數(shù)極值的求解方法 4第3章 二元函數(shù)極值的求解方法 7 二元函數(shù)極值定義 7 二元函數(shù)極值的充分必要條件 7 二元函數(shù)極值必要條件 7 二元函數(shù)極值充分條件 8 8 9 代入法求極值 9 乘數(shù)法求極值 10第4章 多元函數(shù)極值的求解方法 12 多元函數(shù)極值（）定義 12 12 梯度 12 矩陣 12 多元函數(shù)極值必要條件 12 多元函數(shù)極值充分條件 13 多元函數(shù)極值的求法 14 14 15 代入法求極值 15 乘數(shù)法求極值 16 矩陣法求極值 19 梯度法求極值 24 二次方程判別式法求極值 26 標(biāo)準(zhǔn)量代換法 27結(jié) 束 語 29致 謝 30參 考 文 獻(xiàn) 31附 錄 i附錄一： 外文文獻(xiàn) i附錄二： 外文譯文 ix附錄三： 任務(wù)書 xvii附錄四： 開題報(bào)告 xviii第1章 緒 論在現(xiàn)實(shí)科學(xué)生產(chǎn)實(shí)際中，存在著很多極值問題需要去解決，函數(shù)的極值一直是數(shù)學(xué)研究的重要內(nèi)容之一，由于它的應(yīng)用廣泛，加之函數(shù)本身變化紛繁，所以人們對其方法的研究較多，像代入法，梯度法，利用矩陣解決函數(shù)極值，利用乘數(shù)法解決函數(shù)的極值以及其他多種方法判別極值是否存在等等。這些諸多理論與實(shí)際有機(jī)的結(jié)合起來，這不僅為科研打下了良好的基礎(chǔ)，也為諸多領(lǐng)域的實(shí)際工作提供了便捷，比如在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、經(jīng)濟(jì)管理和經(jīng)濟(jì)核算中，解決在一定條件下怎么使投入最小，產(chǎn)出最多，效益最高等問題。這些算法的提出與改進(jìn)，使得許多問題很便利的得以解決，具有非常重要的現(xiàn)實(shí)意義。如果它比鄰域內(nèi)其他各點(diǎn)處的函數(shù)值都大（小），它就是一個(gè)嚴(yán)格極大（?。?。極值的概念來自數(shù)學(xué)應(yīng)用中的最大值與最小值問題。如果最大值或最小值不是邊界點(diǎn)，那么就一定是內(nèi)點(diǎn)，因而是極值點(diǎn)。綜上可知，我們對函數(shù)極值，不管是一元函數(shù)極值，還是二元或多元函數(shù)極值的條件極值與無條件極值的求解方法做一個(gè)比較全面的了解是相當(dāng)重要的。(2)都有，則稱是函數(shù)的一個(gè)極小值，點(diǎn)為函數(shù)的一個(gè)極小值點(diǎn).極大值和極小值統(tǒng)稱為極值，極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn). 一元函數(shù)極值的充分必要條件函數(shù)的極值不僅僅在實(shí)際問題中占有非常重要的地位，而且也是函數(shù)性態(tài)的一個(gè)重要特征. 一元函數(shù)極值的必要條件費(fèi)馬定理[1]告訴我們，若函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，且為的極值點(diǎn)，. 下面討論充分條件. 極值的第一充分條件定理1設(shè)在點(diǎn)處連續(xù)，在某一鄰域內(nèi)可導(dǎo).①若當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，則函數(shù)在點(diǎn)取得極小值.②若當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，則函數(shù)在點(diǎn) 取得極大值.③如果在點(diǎn)的鄰域內(nèi)，不變號，則函數(shù)在點(diǎn)沒有極值，即不是 的極值點(diǎn).證：由單調(diào)函數(shù)的增減性充要條件，在區(qū)間I上可導(dǎo)，在I上增（減）的充要條件是則對于①：在內(nèi)遞減，在內(nèi)遞增，又由在處連續(xù)，故對任意，恒有即在處取得極小值.同理，對于②，在處取得極大值；對于③，由于在點(diǎn)的鄰域內(nèi) 不變號，故對任意，不能恒有（或），即不能判定在處取得極小值（或極大值），也就是說函數(shù)在點(diǎn)沒有極值， 不是的極值點(diǎn).若函數(shù)是二階可導(dǎo)函數(shù)，則有如下班別極值定理. 極值的第二充分條件定理2[2] 設(shè)在的某一鄰域內(nèi)一階可導(dǎo)，在處二階可導(dǎo)，且,.①若，則函數(shù)在點(diǎn)取得極大值.②若，則函數(shù)在點(diǎn)取得極小值.證：由條件，可得在處的二階泰勒公式由于，因此 (1)又因，故存在正數(shù)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)，(1)式取負(fù)值，從而對任意有，可得在處取極小值.對于應(yīng)用二階導(dǎo)數(shù)無法判斷的問題，可借助更高階的導(dǎo)數(shù)來判斷. 極值的第三充分條件定理3[2]設(shè)在的某一鄰域內(nèi)存在直到階導(dǎo)函數(shù)，在處階可導(dǎo)，且，則①當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，函數(shù)在點(diǎn)取到極值，且當(dāng)時(shí)取極大值，時(shí)取極小值.②當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，函數(shù)在點(diǎn)不取極值. 一元函數(shù)極值的求解方法一元函數(shù)極值的求解步驟[3]如下：（1）確定函數(shù)的定義域；（2）求出，并在定義域內(nèi)求的全部駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)（可能極值點(diǎn)）；（3）對于駐點(diǎn)可利用定理l或2判定，考查導(dǎo)函數(shù)在駐點(diǎn)左右鄰近的符號，確定是否是函數(shù)的極值點(diǎn)，如果是極值點(diǎn)，進(jìn)一步確定是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)；（4）求出各極值點(diǎn)的函數(shù)值，得到函數(shù)的極值.例1 求的極值點(diǎn)和極值解：易得的定義域?yàn)?，在上連續(xù)，且當(dāng)時(shí)，有顯而易見，為的穩(wěn)定點(diǎn)，根據(jù)定理1 ，現(xiàn)列表如下（表中↗表示遞增，↘表示遞減）：0（0,1）1+不存在－0+↗0↘－3↗則由上表可見：點(diǎn)為的極大值點(diǎn)，極大值為。(2)如果,則稱是函數(shù)的極小值，點(diǎn)為函數(shù)的一個(gè)極小值點(diǎn). 二元函數(shù)極值的充分必要條件 二元函數(shù)極值必要條件 定理1設(shè)函數(shù)在點(diǎn)具有偏導(dǎo)數(shù), 且在點(diǎn)處有極值, 則它在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必然為零，即 證：不妨設(shè)處有極大值，的某鄰域內(nèi)任何都有，故當(dāng)，有則一元函數(shù)處有極大值，必有類似地，可證與一元函數(shù)的情形類似，對于二元函數(shù)甚至多元函數(shù)，凡是能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為零的點(diǎn)稱為函數(shù)的駐點(diǎn).備注：具有偏導(dǎo)數(shù)的極值點(diǎn)必然是駐點(diǎn)，但駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn). 二元函數(shù)極值充分條件定理2[5] 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)連續(xù)且有直到二階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又令則在處是否取得極值的條件如下: (1) 當(dāng)時(shí)，函數(shù)在處有極值，且當(dāng)時(shí)有極小值；時(shí)有極大值；(2) 當(dāng)時(shí)，函數(shù)在處沒有極值。(2) 由方程組解出, 其中就是所求條件極值的可能的極值點(diǎn).注[8] ：乘數(shù)法只給出函數(shù)取極值的必要條件, 因此按照這種方法求出來的點(diǎn)是否為極值點(diǎn), 還需要加以討論. 不過在實(shí)際問題中, 往往可以根據(jù)問題本身的性質(zhì)來判定所求的點(diǎn)是不是極值點(diǎn).例6 求函數(shù)在條件下的極值.解：由乘數(shù)法，設(shè)函數(shù)為解方程組 解得 得駐點(diǎn) 又 所以 故 是極小值點(diǎn).極小值為 第4章 多元函數(shù)極值的求解方法 多元函數(shù)極值（）定義定義3 設(shè)多元函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義,對于該鄰域內(nèi)任何點(diǎn),成立不等式 (或),則說函數(shù) 在處取極大值(或極小值),點(diǎn)稱為函數(shù)的極值點(diǎn). 梯度定義4 設(shè)n元函數(shù)在點(diǎn)具有偏導(dǎo)數(shù)，則稱向量[]為函數(shù)在點(diǎn)的梯度，記作,即 [] 矩陣 定義5 設(shè)n元函數(shù)在點(diǎn)點(diǎn)具有二階偏導(dǎo)數(shù)，則稱矩陣為函數(shù)在點(diǎn)的矩陣，若二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則是實(shí)對稱矩陣. 多元函數(shù)極值必要條件定理1設(shè)元函數(shù)在點(diǎn)存在偏導(dǎo)數(shù)，且在該點(diǎn)取得極值，則，即.（滿足的點(diǎn)稱為元函數(shù)的駐點(diǎn)） 證：元函數(shù)在點(diǎn)取得極值,令 分別等于，即可得一元函數(shù)在點(diǎn)處取得極值，于是有，同理，因此， 多元函數(shù)極值充分條件　定理 2[9] 設(shè)多元函數(shù) 在 的某鄰域內(nèi)存在一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 又則:（1） 當(dāng)是正定矩陣時(shí), 函數(shù)在點(diǎn)取得極小值。（3）當(dāng)是非定號陣時(shí)，函數(shù)在點(diǎn) 不取極值證:考慮函數(shù)在 點(diǎn)的展開式: [] 因?yàn)? 所以, .因此, 函數(shù)在點(diǎn)是否取得極值完全取決于二次型 的符號.如果二次型是正定二次型(是正定矩陣) , 即, 則在足夠小時(shí), , 在處取極小值。代入直接求解由等式條件所構(gòu)成的方程組消去問題中的某些變量，將原問題轉(zhuǎn)化為無條件極值問題[11]．從另外一種形式上講，代入法就是采用降維的原理將多元函數(shù)的條件極值問題轉(zhuǎn)化為無條件極值的函數(shù)極值問題.例8求函數(shù)在條件下的極值.解：由解得，將上式代入函數(shù)，得解方程組 ， 解得駐點(diǎn)又， 在點(diǎn)處，則， ∴不是極值點(diǎn)在點(diǎn)處，則，且∴為極小值點(diǎn)綜上所述，函數(shù)在點(diǎn)處有極小值，極小值為. 乘數(shù)法求極值在求解二元函數(shù)條件極值的方法同樣也適用于多元函數(shù)（）條件極值的求解，通過構(gòu)造拉格朗日函數(shù)，解出相對應(yīng)的解，對解出的結(jié)果進(jìn)行判斷，從而判定多元函數(shù)條件極值的極值。 解：設(shè)長方體的三棱長為，則原問題就轉(zhuǎn)化為求在條件下長方體體積的最大值，構(gòu)造拉格朗日函數(shù)求其對的偏導(dǎo)數(shù)，有，解方程組由于都不為0，解得這是唯一可能的極值點(diǎn)。也就是說，表面積為的長方體中，以棱長為的正方體體積最大，最大體積?？紤]多元函數(shù)在個(gè)約束條件 下的極值。利用上述方法只是求出駐點(diǎn)，還需要進(jìn)一步判斷。判定準(zhǔn)則（正定判別法）：由多元函數(shù)極值的充分必要條件可知，設(shè)為的極值點(diǎn)，令滿足式。例10 拋物面被平面截成一個(gè)橢圓，求這個(gè)橢圓到坐標(biāo)原點(diǎn)的最長和最短距離 解：這個(gè)問題的實(shí)質(zhì)是求函數(shù)在約束條件 與 下的最大值和最小值問題，應(yīng)用乘數(shù)法，令 求其對的偏導(dǎo)數(shù)，有，解方程組 ，得函數(shù)的兩個(gè)駐點(diǎn)因?yàn)楹瘮?shù) 在有界閉集 上連續(xù)，必有最大值和最小值，而求得的穩(wěn)定點(diǎn)又恰是兩個(gè)，所以它們一個(gè)是最大點(diǎn)，另一個(gè)是最小。 將A的第1列乘以加到第3列,直至將A的第1列乘以加到第+1列,可得與A等價(jià)的矩陣 , 其中由隱函數(shù)存在定理知, 對方程所確定的隱函數(shù), 有:故再將的第1列乘以得矩陣故, 且,因?yàn)楹瘮?shù)矩陣的秩為, 故中必有一個(gè)m階子式不恒為零. 不失一般性，可設(shè)的右上角的階子式,其中而且中所有包含的個(gè)+1階的加邊行列式都等于零, 其中, . (5)由此可知[13], 若由方程(1)所確定的目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)取得滿足約束方程組(2)的條件極值, 則點(diǎn)必滿足方程組(5) .綜合以上, 可得求方程(1)所確定的目標(biāo)函數(shù)滿足約束方程組(2)的條件極值的如下方法[14]:① 選定不恒為零的階子式D,寫出方程組(5),即, 。③ 對解出的可能的條件極值點(diǎn)加以判斷. 例11 求表面積為而體積最大的長方體的體積。也就是說，表面積為的長方體中，以棱長為的正方體體積最