【正文】 ................................................................ 21 參考文獻(xiàn) ...................................................................................................................... 22 1 關(guān)于函數(shù)極限 的多種方法 作者 楊松 指導(dǎo)教師 馬玲副教授 （湛江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，湛江 524048） 摘 要 本文較為全面地總結(jié)了一元函數(shù)，二元函數(shù)極限的若干求法，并通過例題加以說明 . 關(guān)鍵詞 極限；方法 About the Number of Methods Solution Functional Limit Yangsong ( Mathematics and Computational Science School, Zhanjiang Normal University Zhanjiang,524048 China) Abstract The paper more prehensively summarizes the number of methods of solution of functional limit about the functions of one variable and binary function limit ,and examples to illustrate. Keywords limit。methods 1 一元函數(shù)極限的求法 一元函數(shù)極限的定義 [1] 定義 1 設(shè) )(xf 為定義在 [ , )a?? 上的函數(shù) , A 為定數(shù) , 若對(duì)任給的 0?? , 存在正數(shù) M ( a? ） , 使得當(dāng) xM? 時(shí)有 ???Axf )( 則稱函數(shù) )(xf 當(dāng) x 趨于 ?? 時(shí)以 A 為極限 ,記作 lim ( )x f x A?? ? 或 ( ) ( ).f x x? ?? ? ?? 定義 2 設(shè)函數(shù) )(xf 在點(diǎn) 0x 的某個(gè)空心鄰域 0 0( , )Ux?? 內(nèi)有定義 , A 為定數(shù) .若對(duì)任給的 0?? , 存在正數(shù) )( ?? ?? , 使得當(dāng) ???? 00 xx 時(shí)，有 ???Axf )( , 則稱函數(shù) )(xf 當(dāng) x 趨于 0x 時(shí)以 A 為極限 , 記作 0 0l i m ( ) ( ) ( )xx f x A f x A x x? ? ? ?或 2 一元函數(shù)極限求解方法 利用定義求極限 例 1[2] 用極限的定義證明 lim 1 1nx n?? ?? 證 0???，要 11n n ?? ? ? （此式解出 n有困難），記 11n n? ? ? ? ， 此式可改寫成 ? ? 22( 1 ) ( 1 )1 1 1 22n nn n n nnn? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ?， 得 2 ( 1 ) 2 ( 1 ) 2 2 20 ( 1 ) ( 1 ) 1n n nn n n n n? ? ? ? ?? ? ? ??? ? （當(dāng) n1 時(shí)）至此要 ??? .只要 21n ???,即24 1n ???，故令24 1N ???.則 nN 時(shí)有 11nNn ??? ? ? ?. 注意 用極限的定義時(shí) , 只需要證明存在 )( ?或N , 故求解的關(guān)鍵在于不等式的建立 . 在求解的過程中往往采用放大、縮小等技巧 , 但不能把含有 n 的因子移到不等式的另一邊再放大 , 而是應(yīng)該直接對(duì)要證其極限的式子一步一步放大 , 有時(shí)還需加入一些限制條件 , 限制條件必須和所求的 N (或 ? )一致 , 最后結(jié)合在一起考慮 . 利用 Cauchy 求極限 例 2[2] 設(shè)2s in 1 s in 2 s in2 2 2n n nx ? ? ? ?，試證 ??nx 收斂 . 證 因?yàn)?21 1 12 2 2n p n n n n pxx? ? ? ?? ? ? ? ? = 1 1 11 1 1 1 1112 2 2 2 12n p n? ? ???????? ? ? ????? ????? = 112n n?， 0???，（只要 1n ?? （即 1n ?? ）），故令 1N ?? ，則 nN 時(shí)，有 3 ? ?0n p nx x p?? ? ? ? ?， ??nx 收斂獲證 . 注意 在事先不知道極限的猜測(cè)值時(shí)可選擇 Cauchy 準(zhǔn)則 . 利用單調(diào)有界原理求極限 定理 1[1] 在實(shí)數(shù)系中，有界的單調(diào)數(shù)列必有極限 . 例 3[2] 設(shè)11 2nnkxnk????，證明 limnx x??存在 . 證 01 利用不等式 ? ?11 211 kkk k k? ? ? ???， 得 11 2 2 1 2 2 2nnkx n n nk?? ? ? ? ? ? ? ??（有下界） . 02 1 1 2 1 2 21nnx x nn? ? ? ? ? ?? = 12 011n n n??? ? ?， 即 1nnxx? ? . nx 單調(diào)下降，有下界 .故 ??nx 收斂 . 注意 利用單調(diào)準(zhǔn)則證明極限存在 , 主要方面的性質(zhì) : 單調(diào)性和有界性 . 解題的難點(diǎn)在于判斷單調(diào)性 , 一般通過數(shù)學(xué)歸納法、減法、除法比較前后項(xiàng)． 利用數(shù)列與子列、函數(shù)與數(shù)列的極限關(guān)系求極限 [2] 例 4 證明從任一數(shù)列 ??nx 中必可選出一個(gè)（不一定嚴(yán)格）單調(diào)的子數(shù)列 . 證 （我們來證明：如果 ??nx 不存在遞增子序列，則必存在嚴(yán)格遞減的子序列）假若 ??nx 中存在（不一定嚴(yán)格的）遞增子序列 ? ?knx，則問題已被解決 .若 ??nx中無遞增子序列，那么 1 0n??，使得 1nn?? ，恒有1nnxx?.同樣在 ? ?1n nnx ?中也無遞增子序列 .于是又 21nn??，使得 2nn?? ，恒有21n n nx x x??.如此無限進(jìn)行下去， 4 我們便可以找到一嚴(yán)格遞增的子序列 ? ?knx. 利用極限的運(yùn)算法則求極限 定理 2 已知 )(lim0 xfxx?, )(lim0 xgxx?都存在 , 極限值分別為 A , B , 則 (1) BAxgxfxx ???? )]()([lim 0； (2) BAxgxfxx ??? )()(lim 0； (3) BAxg xfxx ?? )( )(lim0（此時(shí)需 0?B 成立 ). 例 5 求 ???????? ????? 20211lim x xxx. 解 : 原式 ???????? ???? ??????? ? )211( 41121lim 220 xxxxxxx ???????? ?????? ??? ? )11)(211( )11(2lim 2220 xxxxxx ???????? ?????? ?? ? )11)(211( 2lim 20 xxxx 41?? . 注意 1 對(duì)于和、差、積、商形式的函數(shù)求極限 , 可以采用極限運(yùn)算法則 , 使用時(shí)需要先對(duì)函數(shù)做某些恒等變換或化簡 , 變換的方法通常有分式的通分、約分、分解因式、分子分母有理化、三角函數(shù)的恒等變化、拆項(xiàng)消去法、比較最高次冪法等 . 注意 2 運(yùn)用極限法則時(shí) , 必須注意只有各項(xiàng)極限都存在 (對(duì)商 , 還要分母極限不為零 )時(shí)才能適用 . 利用等價(jià)代換求極限 例 6 求32212 1 c o slim 1nxn nnn??????????? 解 因?yàn)?lim 2 1nx?? ?，故 5 原式 = 2 22 4221 111 c o s .2l im l im 1111 .112xxn nn nnn? ? ? ???????? ????. 要點(diǎn)： 在求乘除式極限里，其因子可用等價(jià)因子代替，極限不變 .最常用的等價(jià)關(guān)系如：當(dāng) 0x? 時(shí)， ? ? ? ?111~ s i n ~ t a n ~ a r c s i n ~ a r c t a n ~ l n 1 ~ 1 ~ ~ln bxx xax x x x x x e ab ?????（其中 a0,b? 0） . 還有 ? ? 211 cos ~ 2xx? . 利用初等變形求極限 例 7 求 limnx x??,設(shè) 23c o s c o s c o s c o s2 2 2 2n nx x x xx ?. 解 乘以 2 sin22 sin2nnnnxx . 23c o s c o s c o s c o s2 2 2 2n nx x x xx ? ? sin2 sin2n nxx ? sin sin2.sin 2nnxxxx ?(當(dāng) n?? 時(shí) )（ x0? ） . 要點(diǎn)： 用初等數(shù)學(xué)的方法將 nx 變形，然后求極限 . 利用夾逼性準(zhǔn)則求極限 定理 3[1] 設(shè) Axhxf