淺析函數(shù)極限求法的所有專(zhuān)業(yè)-展示頁(yè)
2025-05-26 22:13本頁(yè)面
【正文】 nalysis of the limit has been a focus of content, and runs through the entire contents in a variety of forms, therefore, how to grasp the solution to limit is the key to learning the mathematical analysis. The series of limit can be described as diverse, by concluded and induction, At first, this paper gives the definition of limit, by defining the to understand what is the limit of sequence and function。 secondly by induction and summarization, this paper lists some mon calculation methods, and analysis all kinds of method of limit. At last,given the procedure of the solution to function limit finally, . the idea of solve function limit and the step of solve function limit, to make the beginning student can grasp the method of solve function limit fast ]9[ . Key words: limit。 Variable substitution。 McLaughLin formula。0。??? ，使得00 xx ?? ? ? 時(shí)有 ? ?f x A ??? 則稱(chēng)函數(shù) f 當(dāng) x 趨于 0x 時(shí)以 A為極限，記作 ? ?0limxxf x A? ? 或 ? ? ? ?0f x A x x?? 定義 3 設(shè)函數(shù) f 在 ? ?039。Ux?? （或 ? ?039。Ux?? ）內(nèi)有定義， A 為定數(shù) .若對(duì)任給的 0?? ，存 在正數(shù) ? ?39。0。0。( 00 ?xU 內(nèi)有 )()()( xgxhxf ?? 則 Axhxx ?? )(lim0 利用夾逼原理求極限，通常通過(guò)放大或縮小的方法找出兩個(gè)有相同極限值的數(shù)列或函數(shù)， )()()( xgxhxf ?? . 例 coslimxxxx??? 解： 因?yàn)?1 cos 1x? ? ? ，所以當(dāng) x ＜ 0時(shí) 1 1 c o s 1 111x x x xx x x x x? ? ?? ? ? ? ? ? 而 11lim 1 lim 1 1xxxx? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 由迫斂性定理得， coslimxxxx??? =1 例 3. 2 求2sinlim 4x xxx??? ? 解： 因?yàn)楫?dāng) x ＞ 2時(shí)，2 2 2s in4 4 4x x x xx x x? ??? ? ? 而221lim lim 0441xxx xxx? ?? ? ????????，2lim 04x xx??? ?? 由迫斂性定理知 2sinlim 4x xxx??? ?=0 7 第 7 頁(yè) 共 20 頁(yè) （ 2）單調(diào)有界定理 [2] 設(shè) ??fx為定義在 ? ?00Ux?[或 ? ?00Ux?]上的單調(diào)有界函數(shù)，則 ? ?0limxxfx??存在[或 ? ?0limxxfx??存在 ] 利用極限的四則運(yùn)算求極限 極限的四則運(yùn)算法則 [4] ： 若 Axfxx ?? )(lim0， Bxgxx ?? )(lim0 （ 1） BAxgxfxgxfxxxxxx ????? ??? )(l i m)(l i m)]()([l i m 000 （ 2） BAxgxfxgxfxxxxxx ????? ??? )(l i m)(l i m)]()([l i m 000 （ 3）若 0?B 則： BAxgxfxgxfxxxxxx ?? ??? )(lim)(lim)()(lim000 （ 4） cAxfcxfcxxxx ???? ?? )(lim)(lim 00 （ c為常數(shù)） 上述性質(zhì)對(duì)于 ???????? xxx , 時(shí)也同樣成立 通常在這一類(lèi)型的題中，一般都含有未定式不能直接進(jìn)行極限的四則運(yùn)算，首先對(duì)函數(shù)實(shí)行各種恒等變形 . 例 求極限 ? ?22lim 2 s in c o sx x x x?? ?? 解： ? ?22lim 2 s in c o sx x x x?? ??=2 2 2 2 2l i m 2 l i m si n l i m c os l i m l i mx x x x xx x x x? ? ? ? ?? ? ? ? ?????? ? ??? = 2 22 s in c o s 2 12 2 2 4? ? ? ??? ????? ? ? ??? ?????? ???? 例 求極限 12 1lim221 ????? xxxx 8 第 8 頁(yè) 共 20 頁(yè) 解：12 1lim 2 21 ????? xxxx=)12(lim)1(lim2121 ??????? xxxxx =20 =0 例 求極限 221 1lim 21x xxx? ??? 解： 221 1lim 21x xxx? ???= ? ?? ?? ?? ?111lim 1 2 1xxx??? = ? ?? ?11 2lim 2 1 3xxx?? ?? 例 41 2 3lim 2xxx???? 解： ? ?? ?44241 2 3 2l im l im 42 1 2 3xxxxx x???? ? ??? ?? ? ? = ? ?422lim1 2 3xxx???? = ? ?2 4 2 431 8 3? ??? 利用兩個(gè)重要極限公式求極限 兩個(gè)重要極限公式 [2] ：（ A） 1sinlim0 ?? xxx (B) ex xx ???? )11(lim 但我們經(jīng)常 使用的是它們的變形： 1)( )(sinlim)39。( ?? ? 例 求極限20 cos1lim x xx ?? 解： 20 cos1lim x xx ??=21)22sin(21lim 20 ?? xxx 例 求極限 xx x10 )21(lim ?? 9 第 9 頁(yè) 共 20 頁(yè) 解： xx x10 )21(lim ??= 22210 )21(lim ex xx ???? 利用洛必達(dá)法則求極限 00型不定式極限 定理：若函數(shù) f 和 g 滿足： （ 1） 0)(lim)(lim00 ?? ?? xgxf xxxx； （ 2）在點(diǎn) 0x 的某空心鄰域 )( 00 xU 內(nèi)兩者都可導(dǎo)，且 0)(39。 )(39。 )(39。 ?xg ； （ 3） Axg xfxx ?? )(39。lim0（ A 可為實(shí)數(shù)，也可為 ?? 或 ? ），則 Axg xfxg xf xxxx ?? ?? ?? )(39。lim)( )(lim
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