【正文】 ??10 1 11 1lim1 1 nkn nnkdxx ○2 又 ? ??10 2ln1 1 dxx ○3 由 ○ 1， ○ 2， ○ 3得 )12111(l im nnnnn ???????? ??= 2ln 利用級數(shù)收斂的必要條件求極限 15 第 15 頁 共 20 頁 利用級數(shù)收斂的必要條件：若級數(shù) ???1n nu收斂，則 )(0 ??? nun ，運用這個方法首先判定級數(shù) ???1n nu收斂，然后得出它的通項極限 [6] . 例 求極限2)!(limnnnn ?? 解： 設(shè)2)!(nnann ? 則nnnnnn nnnnaa 2211 )!(])!1[( )1(limlim ???? ?????? = nn nn )11(11lim ????? =01 由比值判別法知 ???1n na收斂 由必要條件知2)!(limnnnn ??=0 利用泰勒 公 式求極限 泰勒公式是一大難點，在學(xué)習(xí)時首先要清楚泰勒定理成立的條件，清楚泰勒 公式、麥克勞林公式的表達形式以及常見的麥克勞林展開式 [7] .實際上，泰勒公式在證明、極限計算等方面 有著廣泛而獨到的應(yīng)用 . 泰勒定理 [8] ：若 )(xf 在 0?x 點有直到 1?n 階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，那么 )(! )0(!2 )0(39。)0(39。 ( ) 1( )f x r x R? ? ? ?，則 ??nx 收斂?；蚶玫依死着袆e法，可知級數(shù)1()nnxx??? 絕對收斂，從而序列 101 ( ) ( 1 , 2 , 3 )nn k kkx x x x n??? ? ? ? ???? 收斂 2 若 39。1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )n n n n n n n n nx x f x f x f x x x r x x? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?，2,3n? ??? 即此時 11n n n nx x r x x??? ? ?， 01r??也成立，故由 1可知 ??nx 收斂 注 此定理可以與單調(diào)有界定理和起來證明遞推數(shù)列的收斂。 例 證明下列數(shù)列的極限存在，并求極限 011 , 2 , 0 , 1 , 2 ,nnx x x n?? ? ? ??? 解 ： 對于 1已有 12nx??，對 ( ) 2f x x? ，有 39。 例 設(shè) 2() 1xfx x?? ? ， ??nx 由下列遞推公式定義 0 1x? ，1 ()nnx f x? ? ( 0,1,2, )n? ??? 求 limnn x?? 解 ： 因為1 2 111nn nnxx xx? ?? ? ??? 又因為1 1 1 1 2 2 121 1 1( ) ( ) 2 4 2n n n n n n n n nx x f x f x x x x x x x? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ?， 39。 211() ( 1) 2f ? ???? ， 1nnxx?? ?? ，所以 nx 收斂。. 2. 判斷函數(shù)的形式是不是)()(xgxf 如果是)()(xgxf，接著判斷是不是 00 或 ?? ⑴ 如果是，接著判斷是否有零因式（或無窮大因式） ① 如果有，則去零因式（或無窮大因式），再回到第一步進行是否連續(xù)的判斷； 若有零因子，可用因式分解或泰勒展開式去零因子 。如果不是，則歸結(jié)為其他類型的極限，用兩邊夾定理 積分中值定理、級數(shù)收斂的必要條件等其他方法來求解 ,可轉(zhuǎn)到 ， ， .) 不同的函數(shù)形式，可采用不同的極限求法，如上文歸納的求極限的方法 .不管用什么方法，目的都是要簡化函數(shù)，化為已知極限 . 21 第 21 頁 共 20 頁 結(jié)論 在選擇求極限方法時，首先要分析函數(shù)的特點，確定函數(shù)式的類型，然后根據(jù)函數(shù)的類型和 特點來決定用何種方法去求函數(shù)的極 限 .極限是描述數(shù)列和函數(shù) 22 第 22 頁 共 20 頁 的變化趨勢 ,該趨勢是以自變量的變化過程為前提 ,所以在判斷極限所屬的類型時 ,一定要以自變量的變化過程為前提 ,而不能單純只看函數(shù)式 ,否則必錯無疑 . 把求數(shù)列極限化為求函數(shù)極限 ,就給求數(shù)列極限開辟了廣闊的天地 .這是因為求函數(shù)極限可以有多種方法 ,針對不同函數(shù)的特點 ,可利用函數(shù)的連續(xù)性、洛必達 ()法則 ,函數(shù)的泰勒 (Taylor)展開式等 ,但也應(yīng)該明白 ,并不是任何數(shù)列極限問題都能轉(zhuǎn)化為函數(shù)極限問題的 ,例如 ,當(dāng)數(shù)列的通項本身呈現(xiàn) n 項之和或積的形式時就不能按海涅定理轉(zhuǎn)化為函數(shù)的極 限了 . 本文主要歸納了數(shù)學(xué)分析中求極限的一些常用方法 .以上只是眾多求解極限方法的一小部分，或許并不全面，讀者如果有興趣可以繼續(xù)探索新的求解方法 .因為數(shù)學(xué)知識博大精深，我們目前只接觸到一點點而已，雖然我們還處在那數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)層，但這并不妨礙我們對數(shù)學(xué)的喜愛與學(xué)習(xí) ,我們應(yīng)不停的接受知識 . 總之，在求函數(shù)極限的過程就是綜合運用各種方法的過程，只有真正理解每一種求解函數(shù)極限方法需要滿足的條件及實質(zhì)，以及各種方法之間的內(nèi)在聯(lián)系 ,才能在求函數(shù)極限的過程中游刃有余 ,且受其益于生活實踐 . 參考文獻 [1]王盛群等 .高等數(shù)學(xué) [M].山東 :山東大學(xué)出版社， 1993. [2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系 .數(shù)學(xué)分析 [M].北京 :高等教育出版社 ,2020. [3]錢吉林 .數(shù)學(xué)分析題解精粹 [M].湖北 :眾邦考試教育研究所 ,2020. [4]同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系 .微積分 [M].北京 :高等教育出版社 ,2020. 23 第 23 頁 共 20 頁 [5]尹國成 .常見函數(shù)極限的求法 [J].保山師專學(xué)報 ,2020,(6):13. [6]宋顥 .函數(shù)極限的求法探討 [J].現(xiàn)代商貿(mào)工業(yè) ,2020,(12):360361. [7]劉玉璉等 .數(shù)學(xué)分析講義 [M].北京 :高等教育出版 社 ,1992. [8]同濟大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系 .高等數(shù)學(xué)習(xí)題集 [M].北京 :高等教育出版社 ,1998. [9] Wolfgang B. Jurkat. Ein funktionentheoretischer Beweis furoTaubersitze bei den Verfahren von Borel und EulerKnopp. [J].Archiv der Mathematik,1956,7(4) [10] Balazs Szegedy. Characters of the Borel and Sylow subgroups of classical groups. [J].Journal of Algebra,2020,267(1) 致謝 這次畢業(yè)論文能夠得以順利完成，自始至終都是由楊玉敏老師全面、具體的指導(dǎo)之下進行的，多次幫我修改論文，還給予我 很多寶貴的意見和建議 .楊玉敏老師嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?治學(xué)態(tài)度和對工作的兢兢業(yè)業(yè)、一絲不茍的精神將永遠激勵和鞭策我認(rèn)真學(xué)習(xí)、努力工作 . 在楊老師那里，我不僅學(xué)習(xí)到了廣泛的專業(yè)知識，更重要的是她那淵博的知識，無私的奉獻精神，孜孜不倦的教誨給了 我深深的啟迪 .在我做本文的過程中無不傾注著楊玉敏老師的心血和汗水 .在此，我要向我的畢業(yè)論文指導(dǎo)教師楊玉敏老師致以衷心的感謝和深深的敬意！衷心感謝每一位教導(dǎo)過我的老師，是他們 24 第 24 頁 共 20 頁 使我擁有良好的專業(yè)基礎(chǔ)，因而有能力完成這一畢業(yè)論文 . 感謝身邊所有的朋友與同學(xué)，謝謝你們四年來的關(guān)照與寬容，與你們一起走過的繽紛時代，將會是我一生最珍貴的回憶 .