淺析函數(shù)極限求法的所有專業(yè)(參考版)
2025-05-16 22:13本頁(yè)面
【正文】 若有無(wú)窮因子，可通過(guò)衡等變化去無(wú)窮因子 . ② 如果沒(méi)有，則應(yīng)用洛必達(dá)法則，再回到第一步進(jìn)行是否連續(xù)的判斷； ⑵ 如果不是，則是形如 ,0?cc c? 的極限，顯然可直接得出答案； 如果不是)()(xgxf，接著判斷是不是 )()( xgxf ? ⑴ 如果是 )()( xgxf ? ，接著判斷是不是 ??0 ① 如果是，則轉(zhuǎn)到 ； ② 如果不是，則是形如 MM ??? ,0 的極限，顯然可直接得出答案； ⑵ 如果不是 )()( xgxf ? ，接著判斷是不是 )()( xgxf 的形式 ① 如果是，應(yīng)用自然對(duì)數(shù)法求極限，則可轉(zhuǎn)到 ； ② 如果不是，則判斷是不是 ??? 的形式 (如果是，通分可后轉(zhuǎn)到 2.。 因?yàn)? 2() 1nnn nxx f x x? ??? ?，設(shè) limnn xa?? ?， 對(duì)兩邊取極限得 21aa a?? ? 所以 2a? ， 2? 不合題意（由極限的保號(hào)性可知） 所以 limnn x?? 2? 18 第 18 頁(yè) 共 20 頁(yè) 4 求極限的一般流程 一般流程圖如下所示： 19 第 19 頁(yè) 共 20 頁(yè) 圖 1 求函數(shù)極限流程圖 求函數(shù)極限的方法較多 ,但是每種方法都有其局限性 ,都不是萬(wàn)能的 .對(duì)某個(gè)具體的求極限的問(wèn)題 ,我們應(yīng)該追求最簡(jiǎn)便的方法 .在求極限的過(guò)程中 ,必然以相 關(guān)的概念、定理及公式為依據(jù) ,并借助一些重要的方法和技巧 . 對(duì)求函數(shù)極限流程圖的說(shuō)明 N Y N 通分 Y N Y Y N Y N N N Y N Y Y N Y N Y 輸入 )(xf 連續(xù) 輸出 gf 00 有零因式 去零因式 gf? ?? ??0 洛必達(dá)法則 有無(wú)窮大因式 去無(wú)窮大因式 00????cc ???? ?? MM 00 gf ??? 利用其他方法求極限 20 第 20 頁(yè) 共 20 頁(yè) 1. 判斷函數(shù)是否連續(xù)，若連續(xù)直接用極限的四則運(yùn)算解之，如例 ；。 2 2 2( 1 ) ( 2 ) 1 1() ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )xxfx x x x? ? ? ?? ? ?? ? ?， 39。 22( ) 122fx x? ? ?， 則它滿足壓縮定理的條件，故 ??nx 收斂。如例 也可以這么來(lái)證明。( ) 1f x r??成立，利用微分中值定理： 17 第 17 頁(yè) 共 20 頁(yè) 39。 證明 1 11 1 0 1 0 1 011 11n n p nn p n p kn p n k kk n k n r r rx x x x r x x x x x xrr??? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ????? 應(yīng)用柯西準(zhǔn)則，知 ??nx 收斂。)0()( 2 xRxnfxfxffxf nnn ?????? ?? 1)1( )!1( )()( ???? nnn xnfxR ? （其中 ? 在 0 與 1 之間） 例 求極限4202coslim x exxx??? 16 第 16 頁(yè) 共 20 頁(yè) 解： 泰 勒展開(kāi)式 )(!4!21c os 442 xOxxx ???? )()2(!21)2(1 422222 xOxxe x ??????? 于是 )(121c os 4422 xOxex x ???? ? 所以4202coslim x exxx??? = 121)(121lim4440 ????? xxOxx 利用壓縮定理 定理 （壓縮定理）： 1 對(duì)于任意數(shù)列 ??nx 而言，若存在常數(shù) r ，使得 nN?? ， 恒有 11n n n nx x r x x??? ? ?， 01r??， 則數(shù)列 ??nx 收斂 2 特別，若數(shù)列 ??nx 利用遞推公式給出： 1 ( ) ( 1, 2 , 3 )nnx f x n? ? ? ???，其中 f 為某一可微函數(shù)，且 rR?? ，使得 39。39。 )(39。 )(39。lim)( )(lim 00 ?? 型不定式極限 定理：若 函數(shù) f 和 g 滿足： （ 1） ????? ?? )(lim)(lim 00 xgxf xxxx； （ 2）在點(diǎn) 0x 的某右空心鄰域 )( 00 xU? 內(nèi)兩者 都可導(dǎo)，且 0)(39。lim0（ A 可為實(shí) 數(shù)，也可為 ?? 或 ? ），則 Axg xfxg xf xxxx ?? ?? )(39。 ?xg ； （ 3） Axg xfxx ?? )(39。( 0)( ?? x xA x ??? exB xx ???? )()( ))(11(lim)39。Ux? 內(nèi)有? ? ? ? ? ?f x h x g x??，則 ? ?0limxxh x A? ? 定理 5（四則運(yùn)算法則） 若極限 ? ?0limxxfx?與 ? ?0limxxgx?都存在，則函數(shù) fg? ，fg? 當(dāng) 0xx? 時(shí)極限也存在 . 6 第 6 頁(yè) 共 20 頁(yè) 3 函數(shù) 極限的求解方法 利用兩個(gè)準(zhǔn)則求極限 (1)極限的迫斂性 [1] （夾逼原理），對(duì)數(shù)列和函數(shù) 同樣適用： 設(shè) Axgxfxxxx ?? ?? )(lim)(lim 00，且在某 )39。Ux? 內(nèi)有 ? ? ? ?f x g x? ，則 ? ? ? ?00lim limx x x xf x g x??? 定理 4 （迫斂性） 設(shè) ? ? ? ?00lim limx x x xf x g x A????，且在某鄰域 ? ?039。??? ，使得當(dāng) 00x x x ?? ? ? （或 00x x x?? ? ? ）時(shí)有 ? ?f x A ??? 則稱數(shù) A 為函數(shù) f 當(dāng) x 趨于 0x? （或 0x? ）時(shí)的右（左）極限，記作 ? ?0limxxf x A?? ? （ ? ?0limxxf x A?? ?） 或 ? ? ? ?0f x A x x??? （ ? ? ? ?0f x A x x???） 5 第 5 頁(yè) 共 20 頁(yè) 右極限與左極限統(tǒng)稱為單側(cè)極限 . f 在點(diǎn) 0x 的右極限與左極限又分別記 為 ? ? ? ?00 0 limxxf x f x???? 與 ? ? ? ?00 0 limxxf x f x????. 函數(shù)極限的性質(zhì) 定理 1（唯一性） 若極限 ? ?0limxxfx?存在，則 f 在 0x 的某空心鄰域 ? ?0 0Ux內(nèi)有界 . 定理 2（局部保號(hào)性）若 ? ?0lim 0xx f x A? ?? （或 0? ），則對(duì)任何正數(shù) rA? （或rA?? ），存在 ? ?0 0Ux，使得對(duì)一切 ? ?0 0x U x? 有? ? 0f x r??（或 ? ? 0f x r?? ? ） . 定理 3（保不等式性） 設(shè) ? ?0limxxfx? 與 ? ?0limxxgx?都存在，且在某鄰域 ? ?039。0。0。Ux? 內(nèi)有定義， A 為定數(shù) .若對(duì)任給的 0?? ，存在正數(shù) ? ?39。 Taylar exhibition type
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