淺析函數(shù)極值的求法及應用(參考版)
2025-06-28 17:23本頁面
【正文】 由于本人的水平有限，所以論文可能存在著一些理論不完善。通過上述函數(shù)極值的求法與應用，旨在能為今后的學習和實際工作帶來一定的方便。函數(shù)極值不僅在經(jīng)濟生產(chǎn)和現(xiàn)實生活中有著廣泛的應用，還在物理學，化學，生物工程等學科有重要的作用。第五章 結(jié)束語通過本文對函數(shù)極值求法及應用的論述，我們深刻的體會到學習函數(shù)極值的重要性。因此我們可以利用微分的方法求出的極值：對微分 ，令， ；如果， 。 圖9 圖10所以蜂房的表面積。由于它是正六棱柱構(gòu)成的，所以我們可以只算一小部分的表面積即可。先是計算蜂房（圖5）的表面積。如下圖3所示，我們先將四面體截下，再將與貼合，得到圖4，再對另外兩個四面體做同樣的動作，最終得到圖5。假設蜂房的邊長為固定邊長，運用函數(shù)極值與微分知識，我們可以計算出滿足設想的模型數(shù)據(jù)。蜂窩是一個三維體建筑，但每一個蜂巢都是正六棱柱體，而蜂蠟墻的總面積僅與蜂巢的截面有關。有人比喻小小蜜蜂是卓越的建筑師。很多的數(shù)學模型都源于生活，是從一些實際問題中抽象出來的，因此我們可以運用函數(shù)極值將現(xiàn)實生活中的某些問題加以分析。由上述可知，企業(yè)實行差別定價所得最大總利潤要大于統(tǒng)一定價時的最大總利潤。作拉格朗日函數(shù)令 解得唯一駐點(噸)，(噸)，對應的統(tǒng)一價格(萬元/噸)。又實際問題一定存在最大值，故最大值必在唯一駐點處取得，即最大利潤為(萬元)。解：(1)總利潤函數(shù)。例11：假設某企業(yè)在兩個相互分割的市場上出售同一種產(chǎn)品，兩個市場的需求函數(shù)分別是,其中和分別表示該產(chǎn)品在兩個市場的價格(單位：萬元/噸),和分別表示該產(chǎn)品在兩個市場的銷售量(即需求量,單位:噸)，并且該企業(yè)生產(chǎn)這種產(chǎn)品的總成本函數(shù)是,其中表示該產(chǎn)品在兩個市場的銷售總量，即。但在規(guī)模生產(chǎn)中，單位商品的生產(chǎn)成本是隨著產(chǎn)量的增加而降低的，因此銷售量、成本與售價是相互影響的。作拉格朗日函數(shù)；令 ，由此解得，即光線的入射角與折射角應滿足：（光的折射定律）時光線傳播時間最短。例10：設定點和位于以平面分開的不同光介質(zhì)中，從點射出的光線折射后到達點，已知光在兩介質(zhì)中的傳播速度分別為，求需時最短的傳播方式。故在上，即。對于，令，得，且當時，當時，易知 為最小值點，即在曲線上取得最小值。例9：證明不等式：。故[+]==，當n=1時等式成立。根據(jù)拉格朗日乘數(shù)法，做輔助函數(shù)，則0, 即= ①0, 即= ②=0 ③由①和②解得，將代入③解得：∴函數(shù)()= 存在最小值,而無最大值。例8：證明不等式,其中n1,0,0。不等式證明具有很強的技巧性，是對知識的綜合性靈活運用。) 圖1 函數(shù)曲面圖與等高線圖第四章 函數(shù)極值理論的應用 函數(shù)極值不但在數(shù)學、物理等學科中有著廣泛的應用，而且在現(xiàn)實生活中的某些問題也可以借助函數(shù)極值來分析。title(39。y39。)。xlabel(39。)subplot(2,1,2)。title(39。subplot(2,1,1)。[X,Y]=meshgrid(x,y)。x=5::5。) end end運行輸出結(jié)果為x =1y =0為極小值點；極小值為fmin = 5x = 3y =0該點不是極值點；x =1y =2該點不是極值點；x = 3y =2為極大值點；極大值為fmax =31下面繪出函數(shù)圖形觀察極值點和鞍點的情形，在函數(shù)曲面圖1左中，觀察不到細節(jié)。) end if D==0 x=xx(i) y=yy(i) disp(39。) fmin=x^3y^3+3*x^2+3*y^29*x end end if D0 x=xx(i) y=yy(i) disp(39。) disp(39。) fmax=x^3y^3+3*x^2+3*y^29*x elseif (6*xx(i)+6)0 x=xx(i) y=yy(i) disp(39。) disp(39。 %駐點縱坐標for i=1:4 D=(6*xx(i)+6)*(6*yy(i)+6) if D0 if (6*xx(i)+6)0 x=xx(i) y=yy(i) disp(39。)得到四個駐點為P ( 1
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