淺析函數(shù)極值的求法及應(yīng)用-資料下載頁(yè)
2025-06-25 17:23本頁(yè)面
【正文】 買欲望下降，造成銷售量下降，導(dǎo)致廠家消減產(chǎn)量。但在規(guī)模生產(chǎn)中，單位商品的生產(chǎn)成本是隨著產(chǎn)量的增加而降低的，因此銷售量、成本與售價(jià)是相互影響的。廠家要選擇合理的銷售價(jià)格才能獲得最大利潤(rùn)。例11：假設(shè)某企業(yè)在兩個(gè)相互分割的市場(chǎng)上出售同一種產(chǎn)品，兩個(gè)市場(chǎng)的需求函數(shù)分別是,其中和分別表示該產(chǎn)品在兩個(gè)市場(chǎng)的價(jià)格(單位：萬(wàn)元/噸),和分別表示該產(chǎn)品在兩個(gè)市場(chǎng)的銷售量(即需求量,單位:噸)，并且該企業(yè)生產(chǎn)這種產(chǎn)品的總成本函數(shù)是,其中表示該產(chǎn)品在兩個(gè)市場(chǎng)的銷售總量，即。（1）如果該企業(yè)實(shí)行價(jià)格差別策略,試確定兩個(gè)市場(chǎng)上該產(chǎn)品的銷售量和價(jià)格,使該企業(yè)獲得最大利潤(rùn)；（2）如果該企業(yè)實(shí)行價(jià)格無(wú)差別策略，試確定兩個(gè)市場(chǎng)上該產(chǎn)品的銷售量及其統(tǒng)一的價(jià)格，使該企業(yè)的總利潤(rùn)最大化；并比較兩種價(jià)格策略下的總利潤(rùn)大小。解：(1)總利潤(rùn)函數(shù)。令,；分別得唯一駐點(diǎn)(噸),(噸)，對(duì)應(yīng)的價(jià)格分別為(萬(wàn)元/噸),(萬(wàn)元/噸)。又實(shí)際問(wèn)題一定存在最大值，故最大值必在唯一駐點(diǎn)處取得，即最大利潤(rùn)為(萬(wàn)元)。(2)如果實(shí)行價(jià)格無(wú)差別策略，即,則有約束條件。作拉格朗日函數(shù)令 解得唯一駐點(diǎn)(噸)，(噸)，對(duì)應(yīng)的統(tǒng)一價(jià)格(萬(wàn)元/噸)。又實(shí)際問(wèn)題一定存在最大值，故最大值必在唯一駐點(diǎn)處達(dá)到，即最大利潤(rùn)為(萬(wàn)元)。由上述可知，企業(yè)實(shí)行差別定價(jià)所得最大總利潤(rùn)要大于統(tǒng)一定價(jià)時(shí)的最大總利潤(rùn)。隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的迅速發(fā)展，人們?cè)诮鉀Q各種實(shí)際問(wèn)題時(shí)更加精確化和定量化，數(shù)學(xué)更加深入的滲透到生活領(lǐng)域。很多的數(shù)學(xué)模型都源于生活，是從一些實(shí)際問(wèn)題中抽象出來(lái)的，因此我們可以運(yùn)用函數(shù)極值將現(xiàn)實(shí)生活中的某些問(wèn)題加以分析。例12：著名生物學(xué)家達(dá)爾文說(shuō)：巢房的精巧構(gòu)造十分符合需要，如果一個(gè)人在觀賞精密細(xì)致的蜂巢后，而不知加以贊揚(yáng)，那人一定是個(gè)糊涂蟲。有人比喻小小蜜蜂是卓越的建筑師。他們認(rèn)為蜜蜂們“設(shè)計(jì)”的蜂房是最優(yōu)化的。蜂窩是一個(gè)三維體建筑，但每一個(gè)蜂巢都是正六棱柱體，而蜂蠟墻的總面積僅與蜂巢的截面有關(guān)。由此可以抽象出一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，即尋找體積相同、表面積最小的立體模型。假設(shè)蜂房的邊長(zhǎng)為固定邊長(zhǎng)，運(yùn)用函數(shù)極值與微分知識(shí)，我們可以計(jì)算出滿足設(shè)想的模型數(shù)據(jù)。問(wèn)題分析：建立一個(gè)模型，假設(shè)蜂房是一個(gè)固定邊長(zhǎng)為的標(biāo)準(zhǔn)正六棱柱，上方被替換成三個(gè)交于一個(gè)共同點(diǎn)的菱形。如下圖3所示，我們先將四面體截下，再將與貼合，得到圖4，再對(duì)另外兩個(gè)四面體做同樣的動(dòng)作，最終得到圖5。 圖3 圖4 圖5柱的地面是空的，而總體面積會(huì)是一個(gè)常數(shù)，不妨設(shè)成，假設(shè)，接下來(lái)是求此柱體的表面積，然后求出并證明當(dāng)為何值時(shí)最小。先是計(jì)算蜂房（圖5）的表面積。表面積為六棱柱的柱面面積，減掉六個(gè)小三角形，再加上三個(gè)菱形面積。由于它是正六棱柱構(gòu)成的，所以我們可以只算一小部分的表面積即可。體積，底面積為六個(gè)小的正三角形組成，邊長(zhǎng)為，所以底面積，得到柱高，因此周圍的表面積 圖6 圖7 圖8切掉的六個(gè)小三角形面積需要注意一下，因?yàn)槭亲詈笞罡唿c(diǎn)與底面和最短邊長(zhǎng)的夾角，事實(shí)上的邊長(zhǎng)的長(zhǎng)度等于圖二中的長(zhǎng)度，用側(cè)面來(lái)看就可以很清楚的知道關(guān)系了(圖8)，所以 ，因此六個(gè)小三角形的總面積為，三個(gè)菱形總面積(見圖10)。 圖9 圖10所以蜂房的表面積。進(jìn)一步的，我們發(fā)現(xiàn)總表面積呈現(xiàn)一個(gè)和有關(guān)的函數(shù)﹙因?yàn)楹投脊潭拴w，并且在 0 ～ 90 度之間與是連續(xù)可微分的。因此我們可以利用微分的方法求出的極值：對(duì)微分 ，令， ；如果， 。下面計(jì)算所以 時(shí)，表面積有最小值。第五章 結(jié)束語(yǔ)通過(guò)本文對(duì)函數(shù)極值求法及應(yīng)用的論述，我們深刻的體會(huì)到學(xué)習(xí)函數(shù)極值的重要性。函數(shù)極值的求法種類還有很多，而且隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，可能會(huì)更加豐富，更加有趣，因本人能力有限，只例舉出了以上幾種方法。函數(shù)極值不僅在經(jīng)濟(jì)生產(chǎn)和現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的應(yīng)用，還在物理學(xué)，化學(xué)，生物工程等學(xué)科有重要的作用。因此函數(shù)極值問(wèn)題的研究具有重大的現(xiàn)實(shí)意義。通過(guò)上述函數(shù)極值的求法與應(yīng)用，旨在能為今后的學(xué)習(xí)和實(shí)際工作帶來(lái)一定的方便。 致謝語(yǔ)本論文是在XXX老師的悉心指導(dǎo)下完成的，XXX老師對(duì)我的論文思想和寫作給了許多的建議，在此我要向李美蓮老師表示最衷心的感謝和最深厚的敬意。由于本人的水平有限，所以論文可能存在著一些理論不完善。在此也懇請(qǐng)各位專家和老師給予批評(píng)與指導(dǎo)，謝謝你們！引用文獻(xiàn)[1] 陳紀(jì)修，(下冊(cè))[M].北京：高等教育出版社，.[2] (第三版，下冊(cè))[M].北京:高等教育出版社,2007.[3] [M].北京:中央廣播電視大學(xué)出版社,2003．[4] [J].綿羊師范學(xué)院學(xué)報(bào),(2):1415.[5] 肖翔,[J].上海工程技術(shù)大學(xué)教育研究,2006(1):3537.[6] [J].商洛師范專科學(xué)校學(xué)報(bào),.[7] 趙靜,(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2008.[8] [M].北京:科學(xué)出版
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