1--導數(shù)在函數(shù)的單調性-極值中的應用-資料下載頁
2025-08-04 07:33本頁面
【正文】 －x＋1在R上是減函數(shù)，求a的取值范圍． 【錯解】 求函數(shù)的導數(shù)f ′(x)＝3ax2＋6x－1，當f ′(x)0時， f(x)是減函數(shù)，則f ′(x)＝3ax2＋6x－10(x∈R)．故解得a－3.【錯因分析】 f ′(x)0(x∈(a，b))是f(x)在(a，b)上單調遞減的充分不必要條件，在解題過程中易誤作是充要條件，如f(x)＝－x3在R上遞減，但f ′(x)＝－3x2≤0.【正確解答】 求函數(shù)的導數(shù)f ′(x)＝3ax2＋6x－1，(1)當f ′(x)0時， f(x)是減函數(shù)，則f ′(x)＝3ax2＋6x－10(x∈R)．故解得a－3.(2)當a＝－3時， f(x)＝－3x3＋3x2－x＋1＝－3(x－)3＋易知此時函數(shù)也在R上是減函數(shù)．綜上a的取值范圍是a≤－3.(1)當函數(shù)在某個區(qū)間內恒有f ′(x)＝0，則f(x)為常數(shù)，函數(shù)不具有單調性．∴f (x)≥0是f(x)為增函數(shù)的必要不充分條件．在解題中誤將必要條件作充分條件或將既不充分與不必要條件誤作充要條件使用而導致的錯誤還很多，在學習過程中注意思維的嚴密性．(2)函數(shù)極值是一個局部性概念，函數(shù)的極值可以有多個，并且極大值與極小值的大小關系不確定．要強化用導數(shù)處理單調性、極值、最值、方程的根及不等式的證明等數(shù)學問題的意識．(3)如果一個函數(shù)在給定定義域上的單調區(qū)間不止一個，這些區(qū)間之間一般不能用并集符號“∪”連接，只能用“，”或“和”字隔開．糾錯課堂練習：已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝1處取極值－2.(1)試用c表示a，b；(2)求f(x)的單調遞減區(qū)間．解：(1)f ′(x)＝3x2＋2ax＋b由已知條件，即解得a＝c，b＝－3－2c(2)f ′(x)＝3x2＋2cx－3－2c＝(3x＋3＋2c)(x－1)＝3(x＋)(x－1)①若－＝1，即c＝－3f ′(x)＝3(x－1)2≥0f(x)在(－∞，＋∞)上遞增不合題意c＝－3應舍去．②若－1，即c－3時，f(x)的遞減區(qū)間為(－，1)；③若－1，即c－3時，f(x)的遞減區(qū)間為(1，－)．1．與函數(shù)的單調性有關的問題(1)利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間，可通過f ′(x)0或f ′(x)0來進行，至于區(qū)間的端點是否包含，取決于函數(shù)在端點處是否有意義，若有意義，則端點包含與不包含均可；若無意義，則必不能包含端點．(2)若函數(shù)f(x)在(a，b)上遞增(或遞減)，則在(a，b)上f ′(x)≥0(或f ′(x)≤0)恒成立，若該不等式中含有參數(shù)，我們可利用上述結論求參數(shù)的范圍，它蘊涵了恒成立思想．利用上述方法求得參數(shù)的范圍后，要注意檢驗該參數(shù)的端點值能否使f ′(x)＝0恒成立．若能，則去掉該端點值；否則，即為所求．2．與函數(shù)的極值有關的問題(1)求函數(shù)的極值點，可通過f ′(x)＝0來求得，但同時還要注意檢驗在其兩側附近的導函數(shù)值是否異號．(2)若函數(shù)f(x)在x＝x0處有極值，則一定有f ′(x0)＝0，我們可利用上述結論求參數(shù)的值． 第 8 頁 共 8 頁
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