利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值-資料下載頁(yè)
2025-05-16 02:04本頁(yè)面
【正文】 下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：1．；2．；3．； 4．分析：對(duì)于比較復(fù)雜的函數(shù)求導(dǎo)，除了利用指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)求導(dǎo)公式之外，還需要考慮應(yīng)用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則來(lái)進(jìn)行．求導(dǎo)過(guò)程中，可以先適當(dāng)進(jìn)行變形化簡(jiǎn)，將對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)位置轉(zhuǎn)化為有理函數(shù)的形式后再求導(dǎo)數(shù)．解：1．解法一：可看成復(fù)合而成．解法二： 解法三：，2．解法一：設(shè)，則解法二： 3．解法一：設(shè)，則解法二： 4． 說(shuō)明：深刻理解，掌握指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)公式的結(jié)構(gòu)規(guī)律，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，解答本題所使用的知識(shí)，方法都是最基本的，但解法的構(gòu)思是靈魂，有了它才能運(yùn)用知識(shí)為解題服務(wù)，在求導(dǎo)過(guò)程中，學(xué)生易犯漏掉符合或混淆系數(shù)的錯(cuò)誤，使解題走入困境．解題時(shí)，能認(rèn)真觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，積極地進(jìn)行聯(lián)想化歸，才能抓住問(wèn)題的本質(zhì)，把解題思路放開(kāi)．變形函數(shù)解析式求導(dǎo)例 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）； （2）；（3）； （4）．分析：先將函數(shù)適當(dāng)變形，化為更易于求導(dǎo)的形式，可減少計(jì)算量．解：（1）．（2），（3） （4）當(dāng)時(shí)不存在．說(shuō)明：求（其中為多項(xiàng)式）的導(dǎo)數(shù)時(shí)，若的次數(shù)不小于的次數(shù)，則由多項(xiàng)式除法可知，存在，使．從而，這里均為多項(xiàng)式，且的次數(shù)小于的次數(shù)．再求導(dǎo)可減少計(jì)算量．對(duì)函數(shù)變形要注意定義域．如，則定義域變?yōu)?，所以雖然的導(dǎo)數(shù)與的導(dǎo)數(shù)結(jié)果相同，但我們還是應(yīng)避免這種解法．函數(shù)求導(dǎo)法則的綜合運(yùn)用例 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：1．；2．；3．；4．分析：式中所給函數(shù)是幾個(gè)因式積、商、冪、開(kāi)方的關(guān)系．對(duì)于這種結(jié)構(gòu)形式的函數(shù)，可通過(guò)兩邊取對(duì)數(shù)后再求導(dǎo)，就可以使問(wèn)題簡(jiǎn)單化或使無(wú)法求導(dǎo)的問(wèn)題得以解決．但必須注意取尋數(shù)時(shí)需要滿(mǎn)足的條件是真數(shù)為正實(shí)數(shù)，否則將會(huì)出現(xiàn)運(yùn)算失誤．解：1．取y的絕對(duì)值，得，兩邊取尋數(shù)，得根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，兩端對(duì)x求導(dǎo)，得，∴2．注意到，兩端取對(duì)數(shù)，得∴∴ 3．兩端取對(duì)數(shù)，得，兩端對(duì)x求導(dǎo)，得4．兩端取對(duì)數(shù)，得，兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得∴說(shuō)明：對(duì)數(shù)求導(dǎo)法則實(shí)質(zhì)上是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則的應(yīng)用．從多角度分析和探索解決問(wèn)題的途徑，能運(yùn)用恰當(dāng)合理的思維視力，把問(wèn)題的隱含挖掘出來(lái)加以利用，會(huì)使問(wèn)題的解答避繁就簡(jiǎn)，化難為易，收到出奇制勝的效果．解決這類(lèi)問(wèn)題常見(jiàn)的錯(cuò)誤是不注意是關(guān)于x的復(fù)合函數(shù)．指對(duì)數(shù)函數(shù)的概念揭示了各自存在的條件、基本性質(zhì)及其幾何特征，恰當(dāng)?shù)匾雽?duì)數(shù)求導(dǎo)的方法，從不同的側(cè)面分析轉(zhuǎn)化，往往可避免繁瑣的推理與運(yùn)算，使問(wèn)題得以解決．求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)分析：當(dāng)時(shí)因?yàn)榇嬖?，所以?yīng)當(dāng)用導(dǎo)數(shù)定義求，當(dāng)時(shí)，的關(guān)系式是初等函數(shù)，可以按各種求導(dǎo)法同求它的導(dǎo)數(shù)．解：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，說(shuō)明：如果一個(gè)函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)，則有，但如果我們不能斷定的導(dǎo)數(shù)是否在點(diǎn)連續(xù)，不能認(rèn)為．指出函數(shù)的復(fù)合關(guān)系例 指出下列函數(shù)的復(fù)合關(guān)系．1．；2．；3．；4．。分析：由復(fù)合函數(shù)的定義可知，中間變量的選擇應(yīng)是基本函數(shù)的結(jié)構(gòu)，解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是正確分析函數(shù)的復(fù)合層次，一般是從最外層開(kāi)始，由外及里，一層一層地分析，把復(fù)合函數(shù)分解成若干個(gè)常見(jiàn)的基本函數(shù)，逐步確定復(fù)合過(guò)程．解：函數(shù)的復(fù)合關(guān)系分別是1．；2．；3．；4．說(shuō)明：分不清復(fù)合函數(shù)的復(fù)合關(guān)系，忽視最外層和中間變量都是基本函數(shù)的結(jié)構(gòu)形式，而最內(nèi)層可以是關(guān)于自變量x的基本函數(shù)，也可以是關(guān)于自變量的基本函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算而得到的函數(shù)，導(dǎo)致陷入解題誤區(qū)，達(dá)不到預(yù)期的效果．求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．1．；2．；3．；4．。分析：選擇中間變量是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)鍵．必須正確分析復(fù)合函數(shù)是由哪些基本函數(shù)經(jīng)過(guò)怎樣的順序復(fù)合而成的，分清其間的復(fù)合關(guān)系．要善于把一部分量、式子暫時(shí)當(dāng)作一個(gè)整體，這個(gè)暫時(shí)的整體，就是中間變量．求導(dǎo)時(shí)需要記住中間變量，注意逐層求導(dǎo)，不遺漏，而其中特別要注意中間變量的系數(shù)．求導(dǎo)數(shù)后，要把中間變量轉(zhuǎn)換成自變量的函數(shù)． 解：1．解法一：設(shè)，則解法二： 2．解法一：設(shè)，則解法二： 3．解法一：設(shè)，則解法二： 4．解法一：設(shè)，則解法二： 說(shuō)明：對(duì)于復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)，要注意分析問(wèn)題的具體特征，靈活恰當(dāng)?shù)剡x擇中間變量，不可機(jī)械照搬某種固定的模式，否則會(huì)使確定的復(fù)合關(guān)系不準(zhǔn)確，不能有效地進(jìn)行求導(dǎo)運(yùn)算．學(xué)生易犯錯(cuò)誤是混淆變量或忘記中間變量對(duì)自變量求導(dǎo)．求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（其中是可導(dǎo)函數(shù)）1．；2．分析：對(duì)于抽象函數(shù)的求導(dǎo)，一方面要從其形式上把握其結(jié)構(gòu)特征，另一方面要充分運(yùn)用復(fù)合關(guān)系的求導(dǎo)法則。先設(shè)出中間變量，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則進(jìn)行求導(dǎo)運(yùn)算。一般地，假設(shè)中間變量以直接可對(duì)所設(shè)變量求導(dǎo)，不需要再次假設(shè)，如果所設(shè)中間變量可直接求導(dǎo)，就不必再選中間變量。解：1．解法一：設(shè)，則解法二：2．解法一：設(shè)，則解法二： 說(shuō)明：理解概念應(yīng)準(zhǔn)確全面，對(duì)抽象函數(shù)的概念認(rèn)識(shí)不足，顯示了一種思維上的惰性，導(dǎo)致判斷復(fù)合關(guān)系不準(zhǔn)確，沒(méi)有起到假設(shè)中間變量的作用。其次應(yīng)重視與的區(qū)別，前者是對(duì)中間變量的求導(dǎo)，后者表示對(duì)自變量x的求導(dǎo)．34
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