利用導數求函數的極值-資料下載頁
2025-05-16 02:04本頁面
【正文】 下列函數的導數：1．；2．；3．； 4．分析：對于比較復雜的函數求導，除了利用指數、對數函數求導公式之外，還需要考慮應用復合函數的求導法則來進行．求導過程中，可以先適當進行變形化簡，將對數函數的真數位置轉化為有理函數的形式后再求導數．解：1．解法一：可看成復合而成．解法二： 解法三：，2．解法一：設，則解法二： 3．解法一：設，則解法二： 4． 說明：深刻理解，掌握指數函數和對數函數的求導公式的結構規(guī)律，是解決問題的關鍵，解答本題所使用的知識，方法都是最基本的，但解法的構思是靈魂，有了它才能運用知識為解題服務，在求導過程中，學生易犯漏掉符合或混淆系數的錯誤，使解題走入困境．解題時，能認真觀察函數的結構特征，積極地進行聯(lián)想化歸，才能抓住問題的本質，把解題思路放開．變形函數解析式求導例 求下列函數的導數：（1）； （2）；（3）； （4）．分析：先將函數適當變形，化為更易于求導的形式，可減少計算量．解：（1）．（2），（3） （4）當時不存在．說明：求（其中為多項式）的導數時，若的次數不小于的次數，則由多項式除法可知，存在，使．從而，這里均為多項式，且的次數小于的次數．再求導可減少計算量．對函數變形要注意定義域．如，則定義域變?yōu)?，所以雖然的導數與的導數結果相同，但我們還是應避免這種解法．函數求導法則的綜合運用例 求下列函數的導數：1．；2．；3．；4．分析：式中所給函數是幾個因式積、商、冪、開方的關系．對于這種結構形式的函數，可通過兩邊取對數后再求導，就可以使問題簡單化或使無法求導的問題得以解決．但必須注意取尋數時需要滿足的條件是真數為正實數，否則將會出現(xiàn)運算失誤．解：1．取y的絕對值，得，兩邊取尋數，得根據導數的運算法則及復合函數的求導法則，兩端對x求導，得，∴2．注意到，兩端取對數，得∴∴ 3．兩端取對數，得，兩端對x求導，得4．兩端取對數，得，兩邊對x求導，得∴說明：對數求導法則實質上是復合函數求導法則的應用．從多角度分析和探索解決問題的途徑，能運用恰當合理的思維視力，把問題的隱含挖掘出來加以利用，會使問題的解答避繁就簡，化難為易，收到出奇制勝的效果．解決這類問題常見的錯誤是不注意是關于x的復合函數．指對數函數的概念揭示了各自存在的條件、基本性質及其幾何特征，恰當地引入對數求導的方法，從不同的側面分析轉化，往往可避免繁瑣的推理與運算，使問題得以解決．求分段函數的導數例 求函數的導數分析：當時因為存在，所以應當用導數定義求，當時，的關系式是初等函數，可以按各種求導法同求它的導數．解：當時，當時，說明：如果一個函數在點連續(xù)，則有，但如果我們不能斷定的導數是否在點連續(xù)，不能認為．指出函數的復合關系例 指出下列函數的復合關系．1．；2．；3．；4．。分析：由復合函數的定義可知，中間變量的選擇應是基本函數的結構，解決這類問題的關鍵是正確分析函數的復合層次，一般是從最外層開始，由外及里，一層一層地分析，把復合函數分解成若干個常見的基本函數，逐步確定復合過程．解：函數的復合關系分別是1．；2．；3．；4．說明：分不清復合函數的復合關系，忽視最外層和中間變量都是基本函數的結構形式，而最內層可以是關于自變量x的基本函數，也可以是關于自變量的基本函數經過有限次的四則運算而得到的函數，導致陷入解題誤區(qū)，達不到預期的效果．求函數的導數例 求下列函數的導數．1．；2．；3．；4．。分析：選擇中間變量是復合函數求導的關鍵．必須正確分析復合函數是由哪些基本函數經過怎樣的順序復合而成的，分清其間的復合關系．要善于把一部分量、式子暫時當作一個整體，這個暫時的整體，就是中間變量．求導時需要記住中間變量，注意逐層求導，不遺漏，而其中特別要注意中間變量的系數．求導數后，要把中間變量轉換成自變量的函數． 解：1．解法一：設，則解法二： 2．解法一：設，則解法二： 3．解法一：設，則解法二： 4．解法一：設，則解法二： 說明：對于復合函數的求導，要注意分析問題的具體特征，靈活恰當地選擇中間變量，不可機械照搬某種固定的模式，否則會使確定的復合關系不準確，不能有效地進行求導運算．學生易犯錯誤是混淆變量或忘記中間變量對自變量求導．求復合函數的導數例 求下列函數的導數（其中是可導函數）1．；2．分析：對于抽象函數的求導，一方面要從其形式上把握其結構特征，另一方面要充分運用復合關系的求導法則。先設出中間變量，再根據復合函數的導數運算法則進行求導運算。一般地，假設中間變量以直接可對所設變量求導，不需要再次假設，如果所設中間變量可直接求導，就不必再選中間變量。解：1．解法一：設，則解法二：2．解法一：設，則解法二： 說明：理解概念應準確全面，對抽象函數的概念認識不足，顯示了一種思維上的惰性，導致判斷復合關系不準確，沒有起到假設中間變量的作用。其次應重視與的區(qū)別，前者是對中間變量的求導，后者表示對自變量x的求導．34
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