利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值-預(yù)覽頁
【正文】 右極限是否存在且相等，如果存在且相等，才能判定這點存在導(dǎo)數(shù)，否則不存在導(dǎo)數(shù)．利用導(dǎo)數(shù)定義的求解 例 設(shè)函數(shù)在點處可導(dǎo)，試求下列各極限的值．1．；2．3．若，則等于（ ）A．－1 B．－2 C．－1 D．分析：在導(dǎo)數(shù)的定義中，增量的形式是多種多樣的，但不論選擇哪種形式，也必須選擇相對應(yīng)的形式．利用函數(shù)在點處可導(dǎo)的條件，可以將已給定的極限式班等變形轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)定義的結(jié)構(gòu)形式．解：1．原式＝ 2．原式＝ 3．（含），∴故選A．說明：概念是分析解決問題的重要依據(jù)，只有熟練掌握概念的本質(zhì)屬性，把握其內(nèi)涵與外延，才能靈活地應(yīng)用概念進行解題，不能準(zhǔn)確分析和把握給定的極限式與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，盲目套用導(dǎo)數(shù)的定義是使思維受阻的主要原因．解決這類問題的關(guān)鍵就是等價變形，使問題轉(zhuǎn)化．利用定義求導(dǎo)數(shù)例 1．求函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)； 2．求函數(shù)（a、b為常數(shù)）的導(dǎo)數(shù)．分析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的概念求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是求導(dǎo)數(shù)的基本方法，確定函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)有兩種方法，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)定義法和導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值法．解：1．解法一（導(dǎo)數(shù)定義法）：，解法二（導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值法）：，∴2． 說明：求導(dǎo)其本質(zhì)是求極限，在求極限的過程中，力求使所求極限的結(jié)構(gòu)形式轉(zhuǎn)化為已知極限的形式，即導(dǎo)數(shù)的定義，這是能夠順利求導(dǎo)的關(guān)鍵，因此必須深刻理解導(dǎo)數(shù)的概念．證明函數(shù)的在一點處連續(xù)例 證明：若函數(shù)在點處可導(dǎo)，則函數(shù)在點處連續(xù)．分析：從已知和要證明的問題中去尋求轉(zhuǎn)化的方法和策略，要證明在點處連續(xù)，必須證明．由于函數(shù)在點處可導(dǎo)，因此，根據(jù)函數(shù)在點處可導(dǎo)的定義，逐步實現(xiàn)兩個轉(zhuǎn)化，一個是趨向的轉(zhuǎn)化，另一個是形式（變?yōu)閷?dǎo)數(shù)定義形式）的轉(zhuǎn)化．解：證法一：設(shè)，則當(dāng)時，∴函數(shù)在點處連續(xù)．證法二：∵函數(shù)在點處可導(dǎo)，∴在點處有∴∴函數(shù)在點處連續(xù)．說明：對于同一個問題，可以從不同角度去表述，關(guān)鍵是要透過現(xiàn)象看清問題的本質(zhì)，正確運用轉(zhuǎn)化思想來解決問題．函數(shù)在點處連續(xù)，有極限以及導(dǎo)數(shù)存在這三者之間的關(guān)系是：導(dǎo)數(shù)存在連續(xù)有極限．反之則不一定成立．證題過程中不能合理實現(xiàn)轉(zhuǎn)化，而直接理解為是使論證推理出現(xiàn)失誤的障礙．求指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：1．；2．；3．； 4．分析：對于比較復(fù)雜的函數(shù)求導(dǎo)，除了利用指數(shù)、對數(shù)函數(shù)求導(dǎo)公式之外，還需要考慮應(yīng)用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則來進行．求導(dǎo)過程中，可以先適當(dāng)進行變形化簡，將對數(shù)函數(shù)的真數(shù)位置轉(zhuǎn)化為有理函數(shù)的形式后再求導(dǎo)數(shù)．解：1．解法一：可看成復(fù)合而成．解法二： 解法三：，2．解法一：設(shè)，則解法二： 3．解法一：設(shè)，則解法二： 4． 說明：深刻理解，掌握指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)公式的結(jié)構(gòu)規(guī)律，是解決問題的關(guān)鍵，解答本題所使用的知識，方法都是最基本的，但解法的構(gòu)思是靈魂，有了它才能運用知識為解題服務(wù)，在求導(dǎo)過程中，學(xué)生易犯漏掉符合或混淆系數(shù)的錯誤，使解題走入困境．解題時，能認(rèn)真觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，積極地進行聯(lián)想化歸，才能抓住問題的本質(zhì)，把解題思路放開．變形函數(shù)解析式求導(dǎo)例 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）； （2）；（3）； （4）．分析：先將函數(shù)適當(dāng)變形，化為更易于求導(dǎo)的形式，可減少計算量．解：（1）．（2），（3） （4）當(dāng)時不存在．說明：求（其中為多項式）的導(dǎo)數(shù)時，若的次數(shù)不小于的次數(shù)，則由多項式除法可知，存在，使．從而，這里均為多項式，且的次數(shù)小于的次數(shù)．再求導(dǎo)可減少計算量．對函數(shù)變形要注意定義域．如，則定義域變?yōu)椋噪m然的導(dǎo)數(shù)與的導(dǎo)數(shù)結(jié)果相同，但我們還是應(yīng)避免這種解法．函數(shù)求導(dǎo)法則的綜合運用例 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：1．；2．；3．；4．分析：式中所給函數(shù)是幾個因式積、商、冪、開方的關(guān)系．對于這種結(jié)構(gòu)形式的函數(shù)，可通過兩邊取對數(shù)后再求導(dǎo)，就可以使問題簡單化或使無法求導(dǎo)的問題得以解決．但必須注意取尋數(shù)時需要滿足的條件是真數(shù)為正實數(shù)，否則將會出現(xiàn)運算失誤．解：1．取y的絕對值，得，兩邊取尋數(shù)，得根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運算法則及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，兩端對x求導(dǎo)，得，∴2．注意到，兩端取對數(shù)，得∴∴ 3．兩端取對數(shù)，得，兩端對x求導(dǎo)，得4．兩端取對數(shù)，得，兩邊對x求導(dǎo)，得∴說明：對數(shù)求導(dǎo)法則實質(zhì)上是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則的應(yīng)用．從多角度分析和探索解決問題的途徑，能運用恰當(dāng)合理的思維視力，把問題的隱含挖掘出來加以利用，會使問題的解答避繁就簡，化難為易，收到出奇制勝的效果．解決這類問題常見的錯誤是不注意是關(guān)于x的復(fù)合函數(shù)．指對數(shù)函數(shù)的概念揭示了各自存在的條件、基本性質(zhì)及其幾何特征，恰當(dāng)?shù)匾雽?shù)求導(dǎo)的方法，從不同的側(cè)面分析轉(zhuǎn)化，往往可避免繁瑣的推理與運算，使問題得以解決．求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)分析：當(dāng)時因為存在，所以應(yīng)當(dāng)用導(dǎo)數(shù)定義求，當(dāng)時，的關(guān)系式是初等函數(shù)，可以按各種求導(dǎo)法同求它的導(dǎo)數(shù)．解：當(dāng)時，當(dāng)時，說明：如果一個函數(shù)在點連續(xù)，則有，但如果我們不能斷定的導(dǎo)數(shù)是否在點連續(xù)，不能認(rèn)為．指出函數(shù)的復(fù)合關(guān)系例 指出下列函數(shù)的復(fù)合關(guān)系．1．；2．；3．；4．。先設(shè)出中間變量，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運算法則進行求導(dǎo)運算
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