利用導數(shù)求函數(shù)的極值(已修改)
2025-05-28 02:04 本頁面
【正文】 利用導數(shù)求函數(shù)的極值例 求下列函數(shù)的極值：1．；2．；3．分析：按照求極值的基本方法，首先從方程求出在函數(shù)定義域內(nèi)所有可能的極值點，然后按照函數(shù)極值的定義判斷在這些點處是否取得極值．解：1．函數(shù)定義域為R．令，得．當或時，∴函數(shù)在和上是增函數(shù)；當時，∴函數(shù)在（－2，2）上是減函數(shù)．∴當時，函數(shù)有極大值，當時，函數(shù)有極小值2．函數(shù)定義域為R．令，得或．當或時，∴函數(shù)在和上是減函數(shù)；當時，∴函數(shù)在（0，2）上是增函數(shù)．∴當時，函數(shù)取得極小值，當時，函數(shù)取得極大值．3．函數(shù)的定義域為R．令，得．當或時，∴函數(shù)在和上是減函數(shù)；當時，∴函數(shù)在（－1，1）上是增函數(shù)．∴當時，函數(shù)取得極小值，當時，函數(shù)取得極大值說明：思維的周密性是解決問題的基礎，在解題過程中，要全面、系統(tǒng)地考慮問題，注意各種條件 綜合運用，方可實現(xiàn)解題的正確性．解答本題時應注意只是函數(shù)在處有極值的必要條件，如果再加之附近導數(shù)的符號相反，才能斷定函數(shù)在處取得極值．反映在解題上，錯誤判斷極值點或漏掉極值點是學生經(jīng)常出現(xiàn)的失誤．復雜函數(shù)的極值例 求下列函數(shù)的極值：1． ；2．分析：利用求導的方法，先確定可能取到極值的點，然后依據(jù)極值的定義判定．在函數(shù)的定義域內(nèi)尋求可能取到極值的“可疑點”，除了確定其導數(shù)為零的點外，還必須確定函數(shù)定義域內(nèi)所有不可導的點．這兩類點就是函數(shù)在定義內(nèi)可能取到極值的全部“可疑點”．解：1．令，解得，但也可能是極值點．當或時，∴函數(shù)在和上是增函數(shù)；當時，∴函數(shù)在（0，2）上是減函數(shù)．∴當時，函數(shù)取得極大值，當時，函數(shù)取得極小值．2．∴令，得．當或時，∴函數(shù)在和上是減函數(shù)；當或時，∴函數(shù)在和上是增函數(shù)．∴當和時，函數(shù)有極小值0，當時，函數(shù)有極大值．說明：在確定極值時，只討論滿足的點附近的導數(shù)的符號變化情況，確定極值是不全面的．在函數(shù)定義域內(nèi)不可導的點處也可能存在極值．本題1中處，2中及處函數(shù)都不可導，但在這些點處左右兩側(cè)異號，根據(jù)極值的判定方法，函數(shù)在這些點處仍取得極值．從定義分析，極值與可導無關(guān)．根據(jù)函數(shù)的極值確定參數(shù)的值例 已知在時取得極值，且．1．試求常數(shù)a、b、c的值；2．試判斷是函數(shù)的極小值還是極大值，并說明理由．分析：考察函數(shù)是實數(shù)域上的可導函數(shù)，可先求導確定可能的極值點，再通過極值點與導數(shù)的關(guān)系，即極值點必為的根建立起由極值點所確定的相關(guān)等式，運用待定系數(shù)法求出參數(shù)a、b、c的值．解：1．解法一：．是函數(shù)的極值點，∴是方程，即的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系，得又，∴， （3）由（1）、（2）、（3）解得．解法二：由得， （1） （2）又，∴， （3）解（1）、（2）、（3）得．2．，∴當或時，當時，∴函數(shù)在和上是增函數(shù)，在（－1，1）上是減函數(shù)．∴當時，函數(shù)取得極大值，當時，函數(shù)取得極小值．說明：解題的成功要靠正確思路的選擇．本題從逆向思維的角度出發(fā)，根據(jù)題設結(jié)構(gòu)進行逆向聯(lián)想，合理地實現(xiàn)了問題的轉(zhuǎn)化，使抽象的問題具體化，在轉(zhuǎn)化的過程中充分運用了已知條件確定了解題的大方向．可見出路在于“思想認識”．在求導之后，不會應用的隱含條件，因而造成了解決問題的最大思維障礙．當或時，∴函數(shù)在和上是增函數(shù)；當時，∴函數(shù)在（－2，2）上是減函數(shù)．∴當時，函數(shù)有極大值，當時，函數(shù)有極小值2．函數(shù)定義域為R．令，得或．當或時，∴函數(shù)在和上是減函數(shù)；當時，∴函數(shù)在（0，2）上是增函數(shù)．∴當時，函數(shù)取得極小值，當時，函數(shù)取得極大值．3．函數(shù)的定義域為R．令，得．當或時，∴函數(shù)在和上是減函數(shù)；當時，∴函數(shù)在（－1，1）上是增函數(shù)．∴當時，函數(shù)取得極小值，當時，函數(shù)取得極大值說明：思維的周密性是解決問題的基礎，在解題過程中，要全面、系統(tǒng)地考慮問題，注意各種條件 綜合運用，方可實現(xiàn)解題的正確性．解答本題時應注意只是函數(shù)在處有極值的必要條件，如果再加之附近導數(shù)的符號相反，才能斷定函數(shù)在處取得極值．反映在解題上，錯誤判斷極值點或漏掉極值點是學生經(jīng)常出現(xiàn)的失誤．利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例 求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：1．；2．；3．分析：為了提高解題的準確性，在利用求導的方法確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，也必須先求出函數(shù)的定義域，然后再求導判斷符號，以避免不該出現(xiàn)的失誤．解：1．函數(shù)的定義域為R，令，得或．∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（－1，0）和；令，得或，∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為和（0，1）．2．函數(shù)定義域為令，得．∴函數(shù)的遞增區(qū)間為（0，1）；令，得，∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（1，2）．3．函數(shù)定義域為令，得或．∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和；令，得且，∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是和．說明：依據(jù)導數(shù)在某一區(qū)間內(nèi)的符號來確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，體現(xiàn)了形象思維的直觀性和運動性．解決這類問題，如果利用函數(shù)單調(diào)性定義來確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，運算顯得繁瑣，區(qū)間難以找準．學生易犯的錯誤是將兩個以上各自獨立單調(diào)遞增（或遞減）區(qū)間寫成并集的形式，如將例1函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和遞減區(qū)間分別寫成 和 的錯誤結(jié)果．這里我們可以看出，除函數(shù)思想方法在本題中的重要作用之外，還要注意轉(zhuǎn)化的思想方法的應用．求解析式并根據(jù)單調(diào)性確定參數(shù)例 已知，且1．設，求的解析式；2．設，試問：是否存在實數(shù)，使在內(nèi)為減函數(shù)，且在（－1，0）內(nèi)是增函
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