多元函數(shù)求極值拉格朗日乘數(shù)法資料-資料下載頁(yè)
2025-06-16 08:13本頁(yè)面
【正文】 際問(wèn)題中往往可根據(jù)問(wèn)題本身的性質(zhì)來(lái)判定。例3 求表面積為而體積為最大的長(zhǎng)方體的體積。解 設(shè)長(zhǎng)方體的三棱長(zhǎng)為， 則問(wèn)題就是在條件 （3）下，求函數(shù) 的最大值。構(gòu)成輔助函數(shù) 求其對(duì)x、y、z的偏導(dǎo)數(shù)，并使之為零，得到 （4）再與(10)聯(lián)立求解。因、都不等于零，所以由(11)可得 ＝， ＝．由以上兩式解得 將此代入式(10)，便得 =這是唯一可能的極值點(diǎn)。因?yàn)橛蓡?wèn)題本身可知最大值一定存在，所以最大值就在這個(gè)可能的極值點(diǎn)處取得。也就是說(shuō)，表面積為的長(zhǎng)方體中，以棱長(zhǎng)為的正方體的體積為最大，最大體積。小結(jié)：本節(jié)以一元函數(shù)極值為基礎(chǔ)，研究多元函數(shù)的最大值、最小值與極大值、極小值問(wèn)題。在介紹多元函數(shù)極值的定義后，介紹了二元極值的性質(zhì)以及利用偏導(dǎo)數(shù)求極值的步驟，討論了二元函數(shù)的最值問(wèn)題和實(shí)際問(wèn)題的最值問(wèn)題。最后介紹了利用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值的方法及應(yīng)用。
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