第六節(jié)多元函數(shù)的極值-資料下載頁
2025-07-20 20:22本頁面
【正文】 解 設(shè)矩形的邊長分別為 x和 y，且繞邊長為 y的邊旋轉(zhuǎn)，得到旋轉(zhuǎn)圓柱體的體積為 ,0 ,0 ,π 2 ??? yxyxV其中矩形邊長 x， y滿足的約束條件是 2x+2y=2p，即 x+y=p. 現(xiàn)在求函數(shù) 在條件 x+y–p=0下的最大值 . yxyxfV 2π),( ??構(gòu)造輔助函數(shù)： ),(π),( 2 pyxyxyxF ???? ??求 F(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)，并建立方程組 ???????????????.0),(,0π),(,0π2),(2pyxyxFxyxFxyyxFyx??????由方程組中的第一、二兩個(gè)方程消去 λ，得2y=x，代入第三個(gè)方程，得 .32 ,3 pxpy ??根據(jù)實(shí)際問題，最大值一定存在，且只求得唯一的可能極值點(diǎn)，所以函數(shù)的最大點(diǎn)必在 處取到 .即，當(dāng)矩形邊長 時(shí)，繞 y邊旋轉(zhuǎn)所得的圓柱體的體積最大， . ?????? pp 31,32ppx 31,32 ??3m a x π274 pV ?例 7 某公司的兩個(gè)工廠生產(chǎn)同樣的產(chǎn)品 ,但所需成本不同 ,第一個(gè)工廠生產(chǎn) x個(gè)產(chǎn)品和第二個(gè)工廠生產(chǎn) y個(gè)產(chǎn)品時(shí)的總成本為 z=x2+2y2+5xy+700,若公司生產(chǎn)任務(wù)是 500個(gè)產(chǎn)品 ,問每個(gè)工廠生產(chǎn)多少產(chǎn)品才能使總成本最小 ? 解 由題意知成本函數(shù)為 z=x2+2y2+5xy+700 約束條件為 x+y=500 構(gòu)造輔助函數(shù) F(x,y,λ)=x2+2y2+5xy+700+λ(x+y－ 500) 可得 ( , , ) 2 5 0 ,( , , ) 4 5 0 ,( , , ) 500 0.xyzF x y x yF x y y xF x y x y?????? ? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ? ??得 x=125, y=375 根據(jù)題意 ,最小值一定存在 ,且只求得唯一可能的極值 .所以函數(shù)的最小值必在 x=125,y=375處取得 ,即當(dāng)?shù)谝粋€(gè)工廠生產(chǎn) 125個(gè)產(chǎn)品 ,第二個(gè)工廠生產(chǎn) 375個(gè)產(chǎn)品時(shí) ,所需總成本最小 .
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