分析力學(xué),拉格朗日方程-資料下載頁(yè)
2025-05-12 15:34本頁(yè)面
【正文】 i n)(s i n qqqqqq lgmllmL ???? ??＝第 5章 分析力學(xué)基礎(chǔ) Lagrange方程 例 0)()( 1121221212121 ????? qqq lgmmllmlmm ????022222221212 ??? qqq lgmlmllm ????寫成矩陣的形式 ????????????????????????? ???????????????????? ?0000))(2122121212222122122121qqqqlgmlgmmlmllmllmlmm （????0s i n)()(s i n)(c o s)( 1121122221212221212121 ???????? qqqqqqqq lgmmllmllmlmm ?????0s i n)(s i n)(c os 222122122222121212 ????? qqqqqqqq lgmllmlmllm ２１＋ ????? 一般情況下，雙擺的振動(dòng)方程是非線性方程，只有當(dāng)雙擺作微振動(dòng)時(shí)，將 ， 代入，并只保留廣義位移和廣義速度的線性項(xiàng)時(shí)系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程才是線性的。 qq ?sin 1cos ?q第 5章 分析力學(xué)基礎(chǔ) Lagrange方程 例 圖示系統(tǒng)中質(zhì)量 M只能沿水平方向移動(dòng)，一擺長(zhǎng)為質(zhì)量為 l 的單擺在O點(diǎn)與質(zhì)量 M 鉸接，其他參數(shù)如圖。試列出系統(tǒng)作微振動(dòng)的方程。 質(zhì)量 M 的速度： 質(zhì)量 m的速度： x?系統(tǒng)的動(dòng)能 )c os2(2121 2222 qqq ????? lxlxmxMV ????22 )s in()c os( qqqq ??? llx ??系統(tǒng)的勢(shì)能 221)c o s1( xklgmU ??? qLagrange函數(shù) UVL ?? 耗散函數(shù) 221 xcD ??其他非保守力所做的功 xtFW )(?解 建立廣義坐標(biāo) x和 θ，坐標(biāo) x 的原點(diǎn)在系統(tǒng)靜平衡位置，方向向右為正 。 θ為擺桿轉(zhuǎn)角，逆時(shí)針方向?yàn)檎?，擺桿處于鉛垂位置時(shí) θ為零。 系統(tǒng)靜平衡時(shí)勢(shì)能為零。 第 5章 分析力學(xué)基礎(chǔ) Lagrange方程 對(duì)廣義坐標(biāo)分別運(yùn)用 lagrange方程得 )()s in(c o s tFxcxklmlmxmxM ??????? ????????? qqqqq0s i nc o s2 ??? qqq lgmxlmlm ????當(dāng) θ 很小時(shí)，有 qq ?sin 1cos ?q對(duì)方程線性化 ????????????????????????????????????????????? ?0)(000002tFxlgmkxcxlmlmlmmMqqq ??????)c os2(2121 2222 qqq ????? lxlxmxMV ????221)c o s1( xklgmU ??? q 221 xcD ??第 5章 分析力學(xué)基礎(chǔ) 哈密爾頓原理 哈密爾頓原理是分析力學(xué)中的一個(gè)基本的變分原理，它提供了一條從一切可能發(fā)生的 (約束所許可的 )運(yùn)動(dòng)中判斷真正的 (實(shí)際發(fā)生的 )運(yùn)動(dòng)的準(zhǔn)則。 哈密爾頓原理 在任何時(shí)間區(qū)段中，動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的動(dòng)能、變形能、阻尼力和外力所作功的一次變分為零時(shí)，所得到的才是真實(shí)的運(yùn)動(dòng)。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為： 0dd 2121 ?d??d ?? tttt tWtUV ）（對(duì)保守系統(tǒng)，哈密爾頓原理的表達(dá)式可簡(jiǎn)化成： 0d21??d ? tt tUV ）（ 根據(jù)變分原理和動(dòng)力學(xué)普遍方程可以證明哈密爾頓原理?？蓞⒖记迦A大學(xué)的 “ 機(jī)械振動(dòng) ” (上冊(cè) )182頁(yè)－ 187頁(yè)。 5－ 1 質(zhì)量為 m、半徑為 R的均質(zhì)圓柱體，沿半徑為 3R的內(nèi)圓柱表面作無(wú)滑滾動(dòng)。圓柱體的端面有一質(zhì)量可忽略的光滑導(dǎo)軌，一小質(zhì)量 m用兩個(gè)剛度為 k的彈簧與導(dǎo)軌兩端連接，起始時(shí)質(zhì)量 m處于靜平衡位置時(shí)圓柱體的中心，如右圖所示。試?yán)?Lagrange方程 導(dǎo)出系統(tǒng)作微振動(dòng)的微分方程。 第 5章分析力學(xué)基礎(chǔ) 習(xí)題 5－ 2 一根處于彎曲狀態(tài)的桿，它的一端與以等角速度 W 旋轉(zhuǎn)的軸剛性固定連接，另一端自由，桿上受載荷 p(x, t)，桿長(zhǎng)為 L，推導(dǎo)它的振動(dòng)微分方程。
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