分析力學(xué),拉格朗日方程(編輯修改稿)
2025-06-17 15:34 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 為與廣義坐標(biāo)無(wú)關(guān)的常數(shù)。 }{][}{21 T qMqV ??＝顯然，動(dòng)能是正定的，廣義質(zhì)量矩陣也是正定的。 勢(shì)力場(chǎng)和 勢(shì)力 質(zhì)點(diǎn)從力場(chǎng)中某一位置運(yùn)動(dòng)到另一位置時(shí) ， 作用力的功與質(zhì)點(diǎn)經(jīng)歷的路徑無(wú)關(guān) ， 而只與其起點(diǎn)及終點(diǎn)位置有關(guān) ， 這就是所謂的勢(shì)力場(chǎng) 。 重力場(chǎng) 、萬(wàn)有引力場(chǎng)和彈性力場(chǎng)都是勢(shì)力場(chǎng) 。 在勢(shì)力場(chǎng)中質(zhì)點(diǎn)所受的力稱為勢(shì)力 。 勢(shì)能 所謂勢(shì)能是把質(zhì)點(diǎn)從當(dāng)前位置移至勢(shì)能零點(diǎn)的過(guò)程中勢(shì)力所作的功 。 根據(jù)勢(shì)能的定義 ， 特別需要強(qiáng)調(diào)的是： 勢(shì)能大小與規(guī)定的勢(shì)能零點(diǎn)位置有關(guān) 。 第 5章 分析力學(xué)基礎(chǔ) 動(dòng)能和勢(shì)能 勢(shì)能 在線性系統(tǒng)中 ， 勢(shì)能是廣義坐標(biāo)的二次函數(shù) 。 可用矩陣形式表示成： }{][}{21 T qKqU ＝例 右圖表示由剛性桿 l 1和質(zhì)量 m 1及剛性桿 l 2和質(zhì)量 m 2組成的兩個(gè)單擺在 O’ 處用鉸鏈連接成雙擺，并通過(guò)鉸鏈 O與固定點(diǎn)連接，使雙擺只能在平面內(nèi)擺動(dòng)。求系統(tǒng)作微振動(dòng)時(shí)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣。 解 由于雙擺只能在平面內(nèi)擺動(dòng)，可取 q 1和 q 2為廣義坐標(biāo)。并以平衡位置 q 1＝ q 2＝ 0 作為 勢(shì)能零點(diǎn) 。 則系統(tǒng)的勢(shì)能為 ])c o s1()c o s1([)c o s1( 22112111 qqq ????? llgmlgmU ＝其中， [ K ]為剛度矩陣。一般地，剛度矩陣是對(duì)稱、半正定矩陣。 微振動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)的勢(shì)能在平衡位置附近展開(kāi)并保留廣義坐標(biāo)的二次項(xiàng)： ]21)(21 222221121 qq lgmlgmmU ??＝第 5章 分析力學(xué)基礎(chǔ) 動(dòng)能和勢(shì)能 系統(tǒng)的動(dòng)能為 ])(c os2[2121 12212122222121221211 qqqqqqq ????? ???? llllmlmV222221221212212121 21)(c os)(21 qqqqqq ???? lmllmlmm ?????通常，系數(shù) m i j 一般不是常數(shù)，這里 m 1 2和 m 21是廣義坐標(biāo)的函數(shù) )(c os21 122121221 qq ??? llmmm當(dāng)系統(tǒng)在平衡位置附近作小運(yùn)動(dòng)時(shí)，系數(shù) m i j 取其在平衡位置附近臺(tái)勞級(jí)數(shù)的第一項(xiàng)： 2121221 21 llmmm ??則系統(tǒng)的動(dòng)能可寫(xiě)成 2222221212212121 21)(21 qqqq ???? lmllmlmmV ????第 5章 分析力學(xué)基礎(chǔ) 動(dòng)能和勢(shì)能 將動(dòng)能和勢(shì)能寫(xiě)成矩陣形式可以得到剛度矩陣和質(zhì)量矩陣： ]21)(21 222221121 qq lgmlgmmU ??＝2222221212212121 21)(21 qqqq ???? lmllmlmmV ?????????? ??2212100)(][lgmlgmmK???????? ??2222122122111 )(][lmllmllmlmmM第 5章 分析力學(xué)基礎(chǔ) D’Alembert原理 質(zhì)系 D’Alembert原理 作用在質(zhì)系上的外力 （ 主動(dòng)力和約束反力 ） 和慣性力構(gòu)成平衡力系 。 ),2,1(0 pim iii ??? ??? rR其數(shù)學(xué)表達(dá)式為 : 其中， R i 為主動(dòng)力 F i和約束反力 f i的向量和。 應(yīng)用 D’Alembert原理可將虛位移原理推廣到動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。上式左邊可看成質(zhì)點(diǎn)上的合力，計(jì)算整個(gè)質(zhì)系的虛功，有 0)(1????? ??piiiiii mW rrfF dd ??在理想約束下，約束反力 虛功之和為零，因此有 0)(1???? ??piiiii mW rrF dd ??動(dòng)力學(xué)普遍方程 作用在理想約束質(zhì)系上所有的主動(dòng)力和慣性力任意瞬時(shí)在虛位移上的虛功之和等于零 。 第 5章 分析力學(xué)基礎(chǔ) Lagrange方程 Lagrange方程 拉格朗日方程利用廣義坐標(biāo)來(lái)描述非自由質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng) ， 這組方程以系統(tǒng)的動(dòng)能 、 勢(shì)能 、 耗散函數(shù)和廣義力的形式出現(xiàn) ， 具有以下形式： ). . . ,2,1(d d niQqDqLqLt iiii???????????????????? Lagrange方程為非自由質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題提供了一個(gè) 普遍、簡(jiǎn)單又統(tǒng)一 的方法。 式中： L 為 Lagrange 函數(shù) ， 它是系統(tǒng)動(dòng)能 V和勢(shì)能 U之差 ， L = V U 。 而 和 ( i = 1, 2, …
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