分析力學(xué),拉格朗日方程(已修改)
2025-05-28 15:34 本頁面
【正文】 第 5章 分析力學(xué)基礎(chǔ) 振 動 理 論 及 其 應(yīng) 用 自由度和廣義坐標(biāo) 虛位移原理 動能和勢能 D’Alembert原理 Lagrange方程 哈密爾頓原理 自由度 完全確定系統(tǒng)在任何瞬時位置所需的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)稱為自由度。 自由度和廣義坐標(biāo) 第 5章 分析力學(xué)基礎(chǔ) 自由度和廣義坐標(biāo) 分析力學(xué) 分析力學(xué)是利用分析方法研究質(zhì)點(diǎn)系平衡和運(yùn)動問題的工具。它從能量的觀點(diǎn)，統(tǒng)一建立起系統(tǒng)動能、勢能和功之間的標(biāo)量關(guān)系，是研究靜動力學(xué)問題的一個普遍、簡單又統(tǒng)一的方法 。 廣義坐標(biāo) 用某一組獨(dú)立坐標(biāo)（參數(shù)）就能完全確定系統(tǒng)在任何瞬時的位置，則這組坐標(biāo)稱為廣義坐標(biāo)。 一般地，建立振動系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型時廣義坐標(biāo)的數(shù)目與自由度相等。 約束 對質(zhì)點(diǎn)在空間的運(yùn)動所加的限制稱為約束。 質(zhì)點(diǎn)的自由度 質(zhì)點(diǎn)在空間需要 3個獨(dú)立坐標(biāo)才能確定它在任何瞬時的位置，因此，它的自由度為 3。 n個毫不相干、無任何約束的質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)系自由度為3n。 第 5章 分析力學(xué)基礎(chǔ) 自由度和廣義坐標(biāo) 剛體的自由度 一個剛體在空間需要 6個獨(dú)立坐標(biāo)才能確定其在任何瞬時的位置，因此它的自由度為 6。 m個無約束剛體組成的系統(tǒng)自由度為 6m。 振動系統(tǒng)的自由度 振動系統(tǒng)力學(xué)模型中若有 n個質(zhì)點(diǎn)和 m個剛體 ， 那么它的自由度 DOF必定滿足下列方程： DOF = 3 n + 6 m （約束方程數(shù)） 例 圖 (a)中，質(zhì)量用一根彈簧懸掛。圖（ b）中質(zhì)量用一根長度為 l，變形可忽略的懸絲懸掛。分析系統(tǒng)的自由度，并建立系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)。 第 5章 分析力學(xué)基礎(chǔ) 自由度和廣義坐標(biāo) 這樣，坐標(biāo) x 、 y 和 z 就再不獨(dú)立。若用球面坐標(biāo) r 、 y 和 j 來表示，必須滿足條件 r = l ，只要用 y 和 j 兩個坐標(biāo)就能完全確定質(zhì)量在任何瞬時的位置，即 廣義坐標(biāo)數(shù)為 2，自由度為 2。 解 對圖（ a）所示的系統(tǒng)，盡管質(zhì)量用彈簧懸掛，但彈簧能自由地伸長，因此它的約束方程為零，自由度為 3。 對圖 （ b） 所示的系統(tǒng) ， 懸掛質(zhì)量的懸絲不可伸長 ， 因此在空間的位置必須滿足質(zhì)量離懸掛點(diǎn)的距離保持不變的條件 ， 即滿足下列方程約束方程： 2222 lzyx ???(a) （ b） 例 右圖表示由剛性桿 l 1和質(zhì)量 m 1及剛性桿 l 2和質(zhì)量 m 2組成的兩個單擺在 O’ 處用鉸鏈連接成雙擺，并通過鉸鏈 O與固定點(diǎn)連接，使雙擺只能在平面內(nèi)擺動，分析系統(tǒng)的自由度，并建立系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)。 設(shè)剛性桿 l 1與 x軸的夾角為 q 1 ，剛性桿 l 2與 x軸的夾角為 q 2 ，方向如圖所示，那么用和可以完全確定雙擺在任何瞬時的位置， q 1和 q 2可以作為雙擺的廣義坐標(biāo)。 第 5章 分析力學(xué)基礎(chǔ) 自由度和廣義坐標(biāo) 解 由于雙擺只能在平面內(nèi)擺動，因此， z 1 = 0， z 2 = 0，而雙擺的長度 l 1和 l 2不變，即 利用自由度 DOF計(jì)算的公式 ， 可得到雙擺的自由度為 212121 lyx ??? ? ? ? 22212212 lyyxx ????DOF ＝３ ２ － ４＝２ 第 5章 分析力學(xué)基礎(chǔ) 自由度和廣義坐標(biāo) 完整約束 當(dāng)約束方程本身或約束方程通過積分后可以用下式所示的形式表示時 ，稱為完整約束 。 顯然 ， 例 。 0)( ?tz,y,x,f i定常約束 當(dāng)約束方程與時間 t 無關(guān)時 ， 稱為定常約束 。 例 常約束 。 不完整約束 當(dāng)約束方程含有不能積分的速度項(xiàng)時 ， 系統(tǒng)的約束稱為不完整約束 。 具有不完整約束的系統(tǒng) ， 系統(tǒng)的自由度不等于廣義坐標(biāo)數(shù) ， 自由度數(shù)小于廣義坐標(biāo)數(shù) 。 第 5章 分析力學(xué)基礎(chǔ) 自由度和廣義坐標(biāo) 不完整約束 當(dāng)約束方程含有不能積分的速度項(xiàng)時 ， 系統(tǒng)的約束稱為不完整約束 。 具有不完整約束的系統(tǒng) ， 系統(tǒng)的自由度不等于廣義坐標(biāo)數(shù) ， 自由度數(shù)小于廣義坐標(biāo)數(shù) 。 例 剛體 A通過三個點(diǎn)放置在 xoy 平面上，其中的兩個接觸點(diǎn)可在平面上作無摩擦自由滑動，而 P點(diǎn)有一個刀片，使其只能沿刀片方向移動，分析冰刀系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)和自由度 。 解 由于剛體 A在 xoy平面中移動，因此需要三個廣義坐標(biāo) (x, y和 q)描述其在任意
高考資料相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1