利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值-全文預(yù)覽
【正文】 又∴2．，令，得，∴，又．∴3．．令，即，解得當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，．∴函數(shù)在點(diǎn)處取得極小值，也是最小值為即．4．函數(shù)定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，令，解得，∴，又，∴說明：對(duì)于閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，如果在相應(yīng)開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，求上最值可簡(jiǎn)化過程，即直接將極值點(diǎn)與端點(diǎn)的函數(shù)值比較，即可判定最大（或最小）的函數(shù)值，就是最大（或最小）值．解決這類問題，運(yùn)算欠準(zhǔn)確是普遍存在的一個(gè)突出問題，反映出運(yùn)算能力上的差距．運(yùn)算的準(zhǔn)確要依靠運(yùn)算方法的合理與簡(jiǎn)捷，需要有效的檢驗(yàn)手段，只有全方位的“綜合治理”才能在堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)上形成運(yùn)算能力，解決運(yùn)算不準(zhǔn)確的弊?。髢勺兞砍朔e的最大值例 已知為正實(shí)數(shù)，且滿足關(guān)系式，求的最大值．分析：題中有兩個(gè)變量x和y，首先應(yīng)選擇一個(gè)主要變量，將表示為某一變量（x或y或其它變量）的函數(shù)關(guān)系，實(shí)現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化，同時(shí)根據(jù)題設(shè)條件確定變量的取值范圍，再利用導(dǎo)數(shù)（或均值不等式等）求函數(shù)的最大值．解：解法一：，∴．由解得．設(shè)當(dāng)時(shí)， ．令，得或（舍）．∴，又，∴函數(shù)的最大值為．即的最大值為．解法二：由得，設(shè)，∴，設(shè)，則 令，得或．，此時(shí)∴即當(dāng)時(shí)，說明：進(jìn)行一題多解訓(xùn)練，是一種打開思路，激發(fā)思維，鞏固基礎(chǔ)，溝通聯(lián)系的重要途徑，但要明確解決問題的策略、指向和思考方法，需要抓住問題的本質(zhì)，領(lǐng)悟真諦，巧施轉(zhuǎn)化，方可快捷地與熟悉的問題接軌，在實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的過程中，關(guān)鍵是要注意變量的取值范圍必須滿足題設(shè)條件，以免解題陷于困境，功虧一簣．直接利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求導(dǎo)例 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：1．； 2．3．； 4．分析：仔細(xì)觀察和分析各函數(shù)的結(jié)構(gòu)規(guī)律，緊扣求導(dǎo)運(yùn)算法則，聯(lián)系基本函數(shù)求導(dǎo)公式，不具備求導(dǎo)法則條件的可適當(dāng)進(jìn)行恒等變形，步步為營(yíng)，使解決問題水到渠成．解：1． 2． 3．解法一： 解法二：，∴ 4．解法一： 解法二：， 說明：理解和掌握求導(dǎo)法則和公式的結(jié)構(gòu)規(guī)律是靈活進(jìn)行求導(dǎo)運(yùn)算的前提條件，運(yùn)算過程出現(xiàn)失誤，原因是不能正確理解求導(dǎo)法則，特別是商的求導(dǎo)法同．求導(dǎo)過程中符號(hào)判斷不清，也是導(dǎo)致錯(cuò)誤的因素．從本題可以看出，深刻理解和掌握導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則，再結(jié)合給定函數(shù)本身的特點(diǎn)，才能準(zhǔn)確有效地進(jìn)行求導(dǎo)運(yùn)算，才能充分調(diào)動(dòng)思維的積極性，在解決新問題時(shí)舉一反三，觸類旁通，得心應(yīng)手．化簡(jiǎn)函數(shù)解析式在求解例 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．1．；2．；3．；4．分析：對(duì)于比較復(fù)雜的函數(shù)，如果直接套用求導(dǎo)法則，會(huì)使問題求解過程繁瑣冗長(zhǎng)，且易出錯(cuò)．可先對(duì)函數(shù)解析式進(jìn)行合理的恒等變換，轉(zhuǎn)化為易求導(dǎo)的結(jié)構(gòu)形式再求導(dǎo)數(shù)．解：1．，∴2． ∴ 3．∴4．，∴說明：對(duì)于函數(shù)求導(dǎo)，一般要遵循先化簡(jiǎn)，再求導(dǎo)的基本原則．求導(dǎo)時(shí)，不但要重視求導(dǎo)法則的應(yīng)用，而且要特別注意求導(dǎo)法則對(duì)求導(dǎo)的制約作用．在實(shí)施化簡(jiǎn)時(shí)，首先必須注意變換的等價(jià)性，避免不必要的運(yùn)算失誤．根據(jù)點(diǎn)和切線確定拋物線的系數(shù)例 已知拋物線通過點(diǎn)，且在點(diǎn)處與直線相切，求實(shí)數(shù)a、b、c的值．分析：解決問題，關(guān)鍵在于理解題意，轉(zhuǎn)化、溝通條件與結(jié)論，將二者統(tǒng)一起來(lái)．題中涉及三個(gè)未知參數(shù)，題設(shè)中有三個(gè)獨(dú)立的條件，因此，通過解方程組來(lái)確定參數(shù)a、b、c的值是可行的途徑．解：∵曲線過點(diǎn)，∴①，∴∴②又曲線過點(diǎn)，∴③．聯(lián)立解①、②、③得說明：利用導(dǎo)數(shù)求切線斜率是行之有效的方法，它適用于任何可導(dǎo)函數(shù)，解題時(shí)要充分運(yùn)用這一條件，才能使問題迎刃而解．解答本題常見的失誤是不注意運(yùn)用點(diǎn)在曲線上這一關(guān)鍵的隱含條件．利用導(dǎo)數(shù)求和例 利用導(dǎo)數(shù)求和．1．2．分析：?jiǎn)栴}分別可通過錯(cuò)位相減的方法及構(gòu)造二項(xiàng)式定理的方法來(lái)解決．轉(zhuǎn)換思維角度，由求導(dǎo)公式，可聯(lián)想到它們是另外一個(gè)和式的導(dǎo)數(shù)，因此可轉(zhuǎn)化求和，利用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算可使問題解法更加簡(jiǎn)潔明快．解：1．當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，兩邊都是關(guān)于x的函數(shù)，求導(dǎo)得，即2．兩邊都是關(guān)于x的可導(dǎo)函數(shù)，求導(dǎo)得，令，得，即說明：通過對(duì)數(shù)列的通項(xiàng)進(jìn)行聯(lián)想，合理運(yùn)用了逆向思維的方法，從而激發(fā)了思維的靈活性，使數(shù)列的求和問題獲得解決，其關(guān)鍵是抓住了數(shù)列通項(xiàng)的形式結(jié)構(gòu)．學(xué)生易犯的錯(cuò)誤是受思維定式的影響不善于聯(lián)想．導(dǎo)數(shù)定義的利用例 若，則等于（ ） A． B． C． D．以上都不是分析：本題考查的是對(duì)導(dǎo)數(shù)定義的理解，根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義直接求解即可解：由于 ，應(yīng)選A求曲線方程的斜率和方程例 已知曲線上一點(diǎn)，用斜率定義求：（1）點(diǎn)A的切線的斜率（2）點(diǎn)A處的切線方程分析：求曲線在A處的斜率，即求解：（1）（2）切線方程為即說明：上述求導(dǎo)方法也是用定義求運(yùn)動(dòng)物體在時(shí)刻處的瞬時(shí)速度的步驟．判斷分段函數(shù)的在段點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)例 已知函數(shù)，判斷在處是否可導(dǎo)？分析：對(duì)分段函數(shù)在“分界點(diǎn)”處的導(dǎo)數(shù)問題，要根據(jù)定義來(lái)判斷是否可導(dǎo)．解：∴在處不可導(dǎo)．說明：函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，是指一個(gè)極限值，即，當(dāng)；包括；，判定分段函數(shù)在“分界處”的導(dǎo)數(shù)是否存在時(shí)，要驗(yàn)證其左、
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