【正文】 指導(dǎo)教師意見(jiàn)簽 名：年 月 日備注參考文獻(xiàn)：[1] [J]. 臨沂師專學(xué)報(bào), 1999(12):2124. [2] [J].綿陽(yáng)師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2008，27（2）：1415.[3] 陳紀(jì)修，於崇華，—2版[M].北京：高等教育出版社，[4] ：高等教育出版社，[5] [J].綿羊師范學(xué)院學(xué)報(bào)，(2)：1415.[6] 肖翔，[J]，上海工程技術(shù)大學(xué)教育研究，2006(1): 3537[7] 莫國(guó)良，關(guān)于用代入法求條件極值的一點(diǎn)注記[J]，高等數(shù)學(xué)研究，2004(3):4249。第6周到第12周：整理相關(guān)資料，進(jìn)行認(rèn)真的思索，爭(zhēng)取做到不放過(guò)任何細(xì)節(jié)，并擁有自己的想法，以論文形式記錄下來(lái)。時(shí)間安排第1周到第3周： 對(duì)論文題目有個(gè)大致的了解，通過(guò)查閱資料和請(qǐng)教老師確定論文的方向，并完成開(kāi)題報(bào)告。三、擬解決的關(guān)鍵問(wèn)題 重點(diǎn)研究多元函數(shù)極值的一些求法，通過(guò)對(duì)傳統(tǒng)函數(shù)極值求法的深入再學(xué)習(xí)，特別研究幾類函數(shù)的無(wú)條件極值和約束條件極值的一些新的求法。研究?jī)?nèi)容研究目標(biāo)擬解決的關(guān)鍵問(wèn)題一、研究?jī)?nèi)容 在本文中，主要研究函數(shù)極值的一些求法，特別研究多元函數(shù)極值以及無(wú)條件函數(shù)極值和條件函數(shù)極值的一些求法。二、國(guó)內(nèi)研究情況在函數(shù)極值問(wèn)題中，尤其是多元函數(shù)，其涉及到的量比較多，在求解某類形式上比較復(fù)雜的函數(shù)的極值問(wèn)題比較困難。在生活中也經(jīng)常會(huì)遇到求利潤(rùn)最大化、用料最省、效率最高等問(wèn)題。四、主要技術(shù)指標(biāo)或主要參數(shù)通過(guò)查找、收集、整理資料，認(rèn)真細(xì)致閱讀相關(guān)參考文獻(xiàn)，借助所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)和理論，尤其是數(shù)學(xué)分析方面極限理論、微積分理論，通過(guò)對(duì)傳統(tǒng)函數(shù)極值求法的深入再學(xué)習(xí)，研究幾類函數(shù)的無(wú)條件極值和約束條件極值的一些新的求法五、基本要求完成15000字以上的論文，2000字以上的外文翻譯六、其它（包括選題來(lái)源）需要基礎(chǔ)知識(shí)：數(shù)學(xué)分析等專業(yè)課知識(shí)。z)，并且長(zhǎng)方體的體積為V= 8xyz. 我們要求V在條件下的最大值. (注意：因?yàn)榧s束條件是有邊界的，故其一定存在極大或者極小值). 其Lagrange函數(shù)為并且存在穩(wěn)定點(diǎn)當(dāng)時(shí)，也就是說(shuō)，當(dāng) 時(shí).(注意：，假設(shè) ，則可得.)因此, 用其他式子表示, 我們可以得到消去，有和進(jìn)而得出 ，因此有 或者得出,同理可得出和 (根據(jù)假設(shè)可得x, y, z都是正值). 所以函數(shù) L有且僅有一個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)(為某一計(jì)算可得到的常數(shù)). 又因?yàn)樵擖c(diǎn)是函數(shù)L 的唯一穩(wěn)定點(diǎn)，則該穩(wěn)定點(diǎn)一定是所要求的最大值點(diǎn)，故其體積的最大值為.附錄三： 畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）任務(wù)書（函數(shù)極值的幾種求法）一、畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）目的掌握科學(xué)研究的基本方法；掌握查閱文獻(xiàn)的基本技能；增強(qiáng)與提高學(xué)習(xí)掌握新知識(shí)及利用數(shù)學(xué)理論解決實(shí)際問(wèn)題的能力.二、主要內(nèi)容主要研究函數(shù)極值的一些求法。x,177。注意的方程相當(dāng)于方程,和所以，在二元的情況下，Lagrange函數(shù)為，并且我們需要解決以下方程:,和.對(duì)于穩(wěn)定點(diǎn)，當(dāng)應(yīng)用定理 不能分類時(shí)，在二元情況下，如果在點(diǎn)處的點(diǎn)是穩(wěn)定點(diǎn)，我們可以考慮函數(shù)的符號(hào)，當(dāng)和任意小(和可為正值和負(fù)值,但不同時(shí)為0)時(shí). 例. 確定下列函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn)并說(shuō)明是哪一類點(diǎn): (1) (2) 解. (1) ,soijk當(dāng)時(shí)有穩(wěn)定點(diǎn),也就是說(shuō), 當(dāng) (1) (2) (3) 時(shí),將方程(2)和方程(3)帶入到方程(1)可以消去變量y和z, 由此可以得到即,得,:,和. 又因?yàn)?和,則Hessian矩陣為 在點(diǎn)處, 則順序主子式 0,，則點(diǎn)是一個(gè)局部極小值點(diǎn). 在點(diǎn)處, 則順序主子式 0,，則點(diǎn)也是一個(gè)極小值點(diǎn). 在點(diǎn)處，Hessian矩陣為因此det,根據(jù)主子式判定方法，第一主子式為0，由此我們可以知道該點(diǎn)是一個(gè)鞍點(diǎn). 下面是另一種計(jì)算方法，在這種情況下，我們考慮現(xiàn)在下面函數(shù)表達(dá)式，的值，對(duì)于任意h, k和l無(wú)限小時(shí). 擔(dān)當(dāng)h, k和l非常小時(shí), 三次及三次以上方程相對(duì)線性二次方程時(shí)可忽略不計(jì), k和l 都為正時(shí),.然而， 當(dāng)、和,同時(shí)增加或者同時(shí)減少, 所以 是一個(gè)鞍點(diǎn).(2) soij.當(dāng)時(shí)有穩(wěn)定點(diǎn),也就是說(shuō), 當(dāng)在時(shí). 現(xiàn)在我們?cè)诓豢紤]主子式判定方法的情況下為該穩(wěn)定點(diǎn)進(jìn)行分類（因?yàn)樵跁r(shí)Hessian矩陣的行列式為0，所以該判定方法在此刻無(wú)法應(yīng)用）.令配成完全平方的形式為所以對(duì)h和k為任意小時(shí)（h和k都不為0），有，因此我們可以確定函數(shù)f 在點(diǎn)處有局部極大值.2. 條件極值和Lagrange乘數(shù)法定義 (x) = 0下的函數(shù)f (x)的極值叫做函數(shù)的條件極值，函數(shù)g(x) = 0叫做限制條件.定義 如果函數(shù) 是一個(gè)n元函數(shù), 則對(duì)應(yīng)于函數(shù)f 的Lagrange函數(shù)在限制條件下的函數(shù)是一個(gè)n+1元函數(shù)這就是著名的Lagrange乘數(shù)法. 對(duì)應(yīng)于函數(shù)f 的Lagrange函數(shù)在k 個(gè)限制條件,時(shí), 帶有k個(gè)的Lagrange函數(shù)為：關(guān)鍵點(diǎn).當(dāng)確定函數(shù)在有界閉集上的極值時(shí)，必須考慮函數(shù)在穩(wěn)定點(diǎn)(即時(shí)), 奇異點(diǎn) (當(dāng)不存在時(shí)) 和邊界點(diǎn)(點(diǎn)在集合的邊緣)處的函數(shù)值.(3) 一個(gè)鞍點(diǎn)，如果點(diǎn)既不是局部極大值點(diǎn)也不是局部極小值點(diǎn). 在不同的情況下 ,當(dāng)det(H)= 0時(shí), 點(diǎn)是一個(gè)局部極值點(diǎn)，或者是一個(gè)鞍點(diǎn).關(guān)鍵點(diǎn). (3) 一個(gè)鞍點(diǎn)，如果點(diǎn)既不是局部極大值點(diǎn)也不是局部極小值點(diǎn).假如是一個(gè)充分光滑的三元函數(shù)，且在點(diǎn)處穩(wěn)定，其Hessian 矩陣為H .如果，則根據(jù)偏導(dǎo)數(shù)判定點(diǎn)是： (1) 一個(gè)局部極大值點(diǎn)， 如果當(dāng)0det(H1), 0det(H2) 并且 0det(H3)時(shí)。 (5) 局部極大（?。┲到y(tǒng)稱為局部極值；全局極大（?。┲到y(tǒng)稱為全局極值.定義 ，如果，并且對(duì)于任意奇異點(diǎn)都不存在，則稱是一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)或穩(wěn)定點(diǎn).結(jié)論 , 則 一定是:(1)函數(shù)的一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn), 或者(2)函數(shù)的一個(gè)奇異點(diǎn), 或者 (3)定義域的一個(gè)邊界點(diǎn).結(jié)論 如果函數(shù)是一個(gè)在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，則在區(qū)間上有邊界并且可以取到邊界值.定義 對(duì)于任一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，當(dāng)既不是局部極大值也不是局部極小值時(shí)，叫做函數(shù)的鞍點(diǎn).結(jié)論 對(duì)于一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是鞍點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)任意小時(shí)，對(duì)于函數(shù)取正值和負(fù)值.定義 如果 是二元函數(shù)，并且在點(diǎn)處所有二階偏導(dǎo)數(shù)都存在，則則根據(jù)函數(shù)在點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)，有在點(diǎn)處的Hessian矩陣為：.推廣：如果 是三元函數(shù)，并且在點(diǎn)處所有二階偏導(dǎo)數(shù)都存在，則根據(jù)函數(shù)在點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)，有在點(diǎn)處的Hessian矩陣為：.定義 矩陣是 階矩陣，并且對(duì)于每一個(gè)都有,從矩陣中選取左上端的行和列，(),叫做矩陣的順序主子式. 定理 假如是一個(gè)充分光滑的二元函數(shù)，且在點(diǎn)處穩(wěn)定，其Hessian 矩陣為H .如果，則根據(jù)偏導(dǎo)數(shù)判定點(diǎn)是：(1) 一個(gè)局部極大值點(diǎn)， 如果0det(H1) = fxx并且0det(H)=。(3)如果對(duì)于所有點(diǎn)成立，則是一個(gè)全局極大值（或絕對(duì)極大值）。z) and its volume is V= 8xyz.We want to maximize V given that . (Note that since the constraint surface is bounded a max/min does exist). The Lagrangian isand this has critical points when , . when (Note that will always be the constraint equation.) As we want to maximize V we can assume that so that .)Hence, eliminating , we getso that and But then so or ,which implies that and (they are all positive by assumption). So L has only one stationary point (for some value of , which we could work out if we wanted to). Since it is the only stationary point it must the required max and the max volume is. 附錄二：外文譯文 多元函數(shù)的極值1. 穩(wěn)定點(diǎn) 使并且. 對(duì)于任意一點(diǎn)有以下定義: (1)如果對(duì)于所有充分地接近時(shí)，則是一個(gè)局部極大值。x,177。With more than one constraint we solve the equation.Theorem Let and be a point on the curve C, with equation g(x,y) = 0, at which f restricted to C has a local that both and have continuous partial derivatives near to and that is not an end point of and that . Then there is some such that is a critical point of the Lagrangian Function.Proof. Sketch only. Since P is not an end point and ,has a tangent at with normal .If is not parallel to at , then it has nonzero projection along this tangent at .But then f increases and decreases away from along ,so is not an extremum. Henceand