【正文】 (1) (2) 解. (1) ,soijk當時有穩(wěn)定點,也就是說, 當 (1) (2) (3) 時,將方程(2)和方程(3)帶入到方程(1)可以消去變量y和z, 由此可以得到即,得,:,和. 又因為,和,則Hessian矩陣為 在點處, 則順序主子式 0,，則點是一個局部極小值點. 在點處, 則順序主子式 0,，則點也是一個極小值點. 在點處，Hessian矩陣為因此det,根據(jù)主子式判定方法，第一主子式為0，由此我們可以知道該點是一個鞍點. 下面是另一種計算方法，在這種情況下，我們考慮現(xiàn)在下面函數(shù)表達式，的值，對于任意h, k和l無限小時. 擔當h, k和l非常小時, 三次及三次以上方程相對線性二次方程時可忽略不計, k和l 都為正時,.然而， 當、和,同時增加或者同時減少, 所以 是一個鞍點.(2) soij.當時有穩(wěn)定點,也就是說, 當在時. 現(xiàn)在我們在不考慮主子式判定方法的情況下為該穩(wěn)定點進行分類（因為在時Hessian矩陣的行列式為0，所以該判定方法在此刻無法應用）.令配成完全平方的形式為所以對h和k為任意小時（h和k都不為0），有，因此我們可以確定函數(shù)f 在點處有局部極大值.2. 條件極值和Lagrange乘數(shù)法定義 (x) = 0下的函數(shù)f (x)的極值叫做函數(shù)的條件極值，函數(shù)g(x) = 0叫做限制條件.定義 如果函數(shù) 是一個n元函數(shù), 則對應于函數(shù)f 的Lagrange函數(shù)在限制條件下的函數(shù)是一個n+1元函數(shù)這就是著名的Lagrange乘數(shù)法. 對應于函數(shù)f 的Lagrange函數(shù)在k 個限制條件,時, 帶有k個的Lagrange函數(shù)為：關鍵點. (5) 局部極大（小）值統(tǒng)稱為局部極值；全局極大（小）值統(tǒng)稱為全局極值.定義 ，如果，并且對于任意奇異點都不存在，則稱是一個關鍵點或穩(wěn)定點.結論 , 則 一定是:(1)函數(shù)的一個關鍵點, 或者(2)函數(shù)的一個奇異點, 或者 (3)定義域的一個邊界點.結論 如果函數(shù)是一個在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，則在區(qū)間上有邊界并且可以取到邊界值.定義 對于任一個關鍵點，當既不是局部極大值也不是局部極小值時，叫做函數(shù)的鞍點.結論 對于一個關鍵點是鞍點當且僅當任意小時，對于函數(shù)取正值和負值.定義 如果 是二元函數(shù)，并且在點處所有二階偏導數(shù)都存在，則則根據(jù)函數(shù)在點處導數(shù)，有在點處的Hessian矩陣為：.推廣：如果 是三元函數(shù)，并且在點處所有二階偏導數(shù)都存在，則根據(jù)函數(shù)在點處導數(shù)，有在點處的Hessian矩陣為：.定義 矩陣是 階矩陣，并且對于每一個都有,從矩陣中選取左上端的行和列，(),叫做矩陣的順序主子式. 定理 假如是一個充分光滑的二元函數(shù)，且在點處穩(wěn)定，其Hessian 矩陣為H .如果，則根據(jù)偏導數(shù)判定點是：(1) 一個局部極大值點， 如果0det(H1) = fxx并且0det(H)=。With more than one constraint we solve the equation.Theorem Let and be a point on the curve C, with equation g(x,y) = 0, at which f restricted to C has a local that both and have continuous partial derivatives near to and that is not an end point of and that . Then there is some such that is a critical point of the Lagrangian Function.Proof. Sketch only. Since P is not an end point and ,has a tangent at with normal .If is not parallel to at , then it has nonzero projection along this tangent at .But then f increases and decreases away from along ,so is not an extremum. Henceand are parallel and there is some184。(2) a local minimum if 0det(H1), 0det(H2) and 0det(H3)。最后，我更要感謝我的父母，感謝他們對我的養(yǎng)育之恩，更感謝他們對我學業(yè)的支持與默默奉獻。 當然，僅僅一個學期的論文設計，不足之處在所難免，還希望各位老師指正批評。解：由例10可知，這個問題的實質是求目標函數(shù)在約束條件 與 下的最大值和最小值問題，有題意可得，設.則曲面在點的法向量為。② 解方程組(5)與方程組(2)及方程(1)的聯(lián)立方程組。引入函數(shù)式中為待定函數(shù)，把當作個變量和的無條件函數(shù)，對這些變量求一階偏導數(shù)，得駐點所要滿足的方程如下：從上述方程中解得駐點，即可能極值點。 同樣, 如果二次型 是負定二次型(是負定矩陣) , 即，則在足夠小時, 有, 在處取極大值.[9] 多元函數(shù)極值的求法 在前面所討論二元函數(shù)極值問題的求解方法時，提到了二元函數(shù)的極值問題分為無條件極值和條件極值兩大類，同樣在多元函數(shù)（）.（1）求出函數(shù)的駐點，根據(jù)極值存在的必要條件，解方程組 解得方程組的解即為函數(shù)的駐點. （2）需要考慮一階偏導數(shù)不存在的點.（3），計算在點的矩陣， （4）再根據(jù)極值存在的充分條件判定方法，判定是否為極值點，進而并求出函數(shù)的極值.[10]例7求函數(shù)的極值解：，解方程組：， 解得駐點為又，則矩陣，顯然其各階順序主子式全都大于零，則是正定矩陣，故在取得極小值，極小值為 代入法求極值在前面的二元函數(shù)條件極值的求解方法中，已經提到了代入法和乘數(shù)法，這兩種方法不僅僅適用于二元函數(shù)的條件極值求解方法，而且可以推廣到多元函數(shù)（）的條件極值求解。第2章 一元函數(shù)極值的求解方法 一元函數(shù)極值定義定義1設函數(shù)在的某個鄰域有定義，對于該鄰域內任一異于的點，如果對該鄰域的所有的點,(1)都有，則稱是函數(shù)的一個極大值，點為函數(shù)的一個極大值點。如果一個函數(shù)在一點的某一鄰域內處處都有確定的值，而以該點處的值為最大（小），這函數(shù)在該點處的值就是一個極大（小）值。這些算法的提出與改進，使得許多問題很便利的得以解決，具有非常重要的現(xiàn)實意義。綜上可知，我們對函數(shù)極值，不管是一元函數(shù)極值，還是二元或多元函數(shù)極值的條件極值與無條件極值的求解方法做一個比較全面的了解是相當重要的。（3）當是非定號陣時，函數(shù)在點 不取極值證:考慮函數(shù)在 點的展開式: [] 因為, 所以, .因此, 函數(shù)在點是否取得極值完全取決于二次型 的符號.如果二次型是正定二次型(是正定矩陣) , 即, 則在足夠小時, , 在處取極小值?？紤]多元函數(shù)在個約束條件 下的極值。 將A的第1列乘以加到第3列,直至將A的第1列乘以加到第+1列,可得與A等價的矩陣 , 其中由隱函數(shù)存在定理知, 對方程所確定的隱函數(shù), 有:故再將的第1列乘以得矩陣故, 且,因為函數(shù)矩陣的秩為, 故中必有一個m階子式不恒為零. 不失一般性，可設的右上角的階子式,其中而且中所有包含的個+1階的加邊行列式都等于零, 其中, . (5)由此可知[13], 若由方程(1)所確定的目標函數(shù)在點取得滿足約束方程組(2)的條件極值, 則點必滿足方程組(5) .綜合以上, 可得求方程(1)所確定的目標函數(shù)滿足約束方程組(2)的條件極值的如下方法[14]:① 選定不恒為零的階子式D,寫出方程組(5),即, 。例12[16] 已知拋物面被平面截成一個橢圓，求原點到這個橢圓的的最長和最短距離。通過本文知道，除了拉格朗日乘數(shù)法、雅可比矩陣法和梯度法外，其余條件極值解法均為初等數(shù)學的方法，掌握好初等數(shù)學的方法求解多元函數(shù)條件極值有時候會更簡單，但其使用的過程中具有一定的技巧性，也有一定的局限性，需要根據(jù)具體情況具體分析。感謝王婧老師在四年大學生活中對我的照顧與關心，感謝祁萌書記和趙娟老師對我平時的指導以及對我畢業(yè)擇業(yè)時的建議，同時也要感謝陪我一起走過大學四年的同學與朋友，因為你們，我在大學四年經歷了許許多多的學生工作經歷，讓我受益很多。 (3) a saddle point if neither of the above hold.where the partial derivatives are evaluated at.Suppose that is a sufficiently smooth function of three variables with a critical point at and Hessian H , then is:(1) a local maximum if 0det(H1), 0det(H2) and 0det(H3)。Note that the equation is equivalent to the equations,and So, in the two variable case, we have Lagranian function and are solving the equations:, , and .(4) 如果對于所有點成立，則是一個全局極小值（或絕對極小值）。穩(wěn)定點可以分為局部極大值點、局部極小值點或鞍點. 三、重點研究問題重點研究多元函數(shù)極值的一些求法。二、研究目標 文章將從一元函數(shù)極值的問題開始進行研究，包括一元函數(shù)中含參量函數(shù)的極值求解方法，其次為二元函數(shù)的常用求解，再逐步推廣到多元函數(shù)極值的各種求解方法，對各種函數(shù)極值的解題方法進行了歸納與總結，并通過具體實例對各種解法進行分析類比，從中可以得出不同的函數(shù)極值問題可以有不同的解題方法，力爭總結出一些新的解題方法或者對某種算法進行適當性的改進。xx