高一數(shù)學函數(shù)的極值與導數(shù)(更新版)
【正文】 x0)＝ 0，因此我們可根據(jù)極值得到一個方程，來解決參數(shù)． 變式 ： 設 a 0 ， (1 ) 證明 f ( x ) ＝ax ＋ b1 ＋ x2取得極大值和極小值的點各有 1 個； (2 ) 當極大值為 1 ，極小值為－ 1 時，求 a 和 b 的值． [ 解析 ] ( 1) 證明： f ′ ( x ) ＝a ( 1 ＋ x2) － 2 x ( ax ＋ b )( 1 ＋ x2)2 ＝－ ax2－ 2 bx ＋ a( 1 ＋ x2)2 ， 令 f ′ ( x ) ＝ 0 ，即 ax2＋ 2 bx － a ＝ 0. ① ∵ Δ ＝ 4 b2＋ 4 a20 ， ∴ 方程 ① 有兩個不相等的實根，記為 x x2. 不妨設 x1 x2，則有 f ′ ( x ) ＝－ ax2－ 2 bx ＋ a( 1 ＋ x2)2＝ 0 ， 即－ a ( x － x1)( x － x2) ＝ 0. f ′ ( x ) 、 f ( x ) 的變化情 況如下表： 由上表可見， f ( x ) 取得極大值和極小值的點各有 1 個 ． (2) 解：由 (1) 可知 f ( x1) ＝ax1＋ b1 ＋ x21＝－ 1 ， f ( x2) ＝ax2＋ b1 ＋ x22＝1 ? － x21－ 1 ＝ ax1＋ b 且 1 ＋ x22＝ ax2＋ b ，兩式相加，得 x22－x21＝ a ( x1＋ x2) ＋ 2 b . 又 x1＋ x2＝－2 ba，代入上式， 得 x22 － x21 ＝ a??????－2 ba＋ 2 b ＝ 0 ， ∴ x22 － x21 ＝ 0 ，即 ( x 2 － x 1 )( x 2 ＋ x 1 ) ＝ 0. ? 而 x1x2， ∴ x1＋ x2＝ 0.∴ b＝ 0. ? 代入 ① 式 ， 得 a(x2－ 1)＝ 0. ? ∵ a0， ∴ x＝ 177。 3個步驟： ① 確定定義域 ② 求 f’(x)=0的根 ③ 并列成表格 用方程 f’(x)=0的根，順次將函數(shù)的定義域分成若干個開 區(qū)間，并列成表格由 f’(x)在方程 f’(x)=0的根左右的符號，來判斷 f(x)在這個根處取極值的情況 。因此一個函數(shù)在其整個定義區(qū)間上可能有 多個極大值或極小值 ，并對同一個函數(shù)來說，在某 一點的極大值也可能小于另一點的極小值 。26)( )1( 32 xxxfxxxf ?????.3)( )4( 。27)( )2( 。 a b y=f(x) x o y y=f(x) x o y a b f 39。 當 x = 2 時 , f (x)有極小值 – 4 / 3 . 變式 求下列函數(shù)的極值 : 。27)( )2( 。 f(x1)或 f(x2)， 得 a＝ 2. ? ∴ a＝ 2， b＝ 0. 注意 ：函數(shù)極值是在某一點附近的小區(qū)間內(nèi)定義的，是 局部
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