高一數(shù)學函數(shù)的極值與導數(shù)(專業(yè)版)
【正文】 f(x1)或 f(x2)， 得 a＝ 2. ? ∴ a＝ 2， b＝ 0. 注意 ：函數(shù)極值是在某一點附近的小區(qū)間內(nèi)定義的，是 局部性質(zhì) 。 當 x = 2 時 , f (x)有極小值 – 4 / 3 . 變式 求下列函數(shù)的極值 : 。27)( )2( 。因此一個函數(shù)在其整個定義區(qū)間上可能有 多個極大值或極小值 ，并對同一個函數(shù)來說，在某 一點的極大值也可能小于另一點的極小值 。 1時函數(shù)取得極小值還是極大值 ， 并說明理由 ． ? [解析 ] (1)由 f′(－ 1)＝ f′(1)＝ 0， 得 3a＋ 2b＋ c＝ 0,3a－ 2b＋ c＝ 0. ? 又 f(1)＝－ 1， ∴ a＋ b＋ c＝－ 1. ∴ a ＝12， b ＝ 0 ， c ＝－32. (2) f ( x ) ＝12x3－32x ， ∴ f ′ ( x ) ＝32x2－32＝32( x － 1) ( x ＋ 1) ． 當 x － 1 或 x 1 時， f ′ ( x ) 0 ；當－ 1 x 1 時， f ′ ( x ) 0 ， ∴ 函數(shù) f ( x ) 在 ( － ∞ ，－ 1) 和 (1 ，＋ ∞ ) 上是增函數(shù)，在 ( －1,1) 上為減函數(shù)． ∴ 當 x ＝－ 1 時，函數(shù)取得極大值 f ( － 1) ＝ 1 ；當 x ＝ 1 時，函數(shù)取得極小值 f (1) ＝－ 1. ? [點評 ] 若函數(shù) f(x)在 x0處取得極值，則一定有 f′(x0)＝ 0，因此我們可根據(jù)極值得到一個方程，來解決參數(shù)． 變式 ： 設 a 0 ， (1 ) 證明 f ( x ) ＝ax ＋ b1 ＋ x2取得極大值和極小值的點各有 1 個； (2 ) 當極大值為 1 ，極小值為－ 1 時，求 a 和 b 的值． [ 解析 ] ( 1) 證明： f ′ ( x ) ＝a ( 1 ＋ x2) － 2 x ( ax ＋ b )( 1 ＋ x2)2 ＝－ ax2－ 2 bx ＋ a( 1 ＋ x2)2 ， 令 f ′ ( x ) ＝ 0 ，即 ax2＋ 2 bx － a ＝ 0. ① ∵ Δ ＝ 4 b2＋ 4 a20 ， ∴ 方程 ① 有兩個不相等的實根，記為 x x2. 不妨設 x1 x2，則有 f ′ ( x ) ＝－ ax2－ 2 bx ＋ a( 1 ＋ x2)2＝ 0 ， 即－ a ( x － x1)( x － x2) ＝ 0. f ′ ( x ) 、 f ( x ) 的變化情 況如下表： 由上表可見， f ( x ) 取得極大值和極小值的點各有 1 個 ． (2) 解：由 (1) 可知 f ( x1) ＝ax1＋ b1 ＋ x21＝－ 1 ， f ( x2) ＝ax2＋ b1 ＋ x22＝1 ? － x21－ 1 ＝ ax1＋ b 且 1 ＋ x22＝ ax2＋ b ，兩式相加，得 x22－x21＝ a ( x1＋ x2) ＋ 2 b . 又 x1＋ x2＝－2 b
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