【正文】 177。對(duì)于穩(wěn)定點(diǎn)，當(dāng)應(yīng)用定理 不能分類時(shí)，在二元情況下，如果在點(diǎn)處的點(diǎn)是穩(wěn)定點(diǎn)，我們可以考慮函數(shù)的符號(hào)，當(dāng)和任意小(和可為正值和負(fù)值,但不同時(shí)為0)時(shí). 例. 確定下列函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn)并說(shuō)明是哪一類點(diǎn): (1) (2) 解. (1) ,soijk當(dāng)時(shí)有穩(wěn)定點(diǎn),也就是說(shuō), 當(dāng) (1) (2) (3) 時(shí),將方程(2)和方程(3)帶入到方程(1)可以消去變量y和z, 由此可以得到即,得,:,和. 又因?yàn)?和,則Hessian矩陣為 在點(diǎn)處, 則順序主子式 0,，則點(diǎn)是一個(gè)局部極小值點(diǎn). 在點(diǎn)處, 則順序主子式 0,，則點(diǎn)也是一個(gè)極小值點(diǎn). 在點(diǎn)處，Hessian矩陣為因此det,根據(jù)主子式判定方法，第一主子式為0，由此我們可以知道該點(diǎn)是一個(gè)鞍點(diǎn). 下面是另一種計(jì)算方法，在這種情況下，我們考慮現(xiàn)在下面函數(shù)表達(dá)式，的值，對(duì)于任意h, k和l無(wú)限小時(shí). 擔(dān)當(dāng)h, k和l非常小時(shí), 三次及三次以上方程相對(duì)線性二次方程時(shí)可忽略不計(jì), k和l 都為正時(shí),.然而， 當(dāng)、和,同時(shí)增加或者同時(shí)減少, 所以 是一個(gè)鞍點(diǎn).(2) soij.當(dāng)時(shí)有穩(wěn)定點(diǎn),也就是說(shuō), 當(dāng)在時(shí). 現(xiàn)在我們?cè)诓豢紤]主子式判定方法的情況下為該穩(wěn)定點(diǎn)進(jìn)行分類（因?yàn)樵跁r(shí)Hessian矩陣的行列式為0，所以該判定方法在此刻無(wú)法應(yīng)用）.令配成完全平方的形式為所以對(duì)h和k為任意小時(shí)（h和k都不為0），有，因此我們可以確定函數(shù)f 在點(diǎn)處有局部極大值.2. 條件極值和Lagrange乘數(shù)法定義 (x) = 0下的函數(shù)f (x)的極值叫做函數(shù)的條件極值，函數(shù)g(x) = 0叫做限制條件.定義 如果函數(shù) 是一個(gè)n元函數(shù), 則對(duì)應(yīng)于函數(shù)f 的Lagrange函數(shù)在限制條件下的函數(shù)是一個(gè)n+1元函數(shù)這就是著名的Lagrange乘數(shù)法. 對(duì)應(yīng)于函數(shù)f 的Lagrange函數(shù)在k 個(gè)限制條件,時(shí), 帶有k個(gè)的Lagrange函數(shù)為：關(guān)鍵點(diǎn).(3) 一個(gè)鞍點(diǎn)，如果點(diǎn)既不是局部極大值點(diǎn)也不是局部極小值點(diǎn). 在不同的情況下 ,當(dāng)det(H)= 0時(shí), 點(diǎn)是一個(gè)局部極值點(diǎn)，或者是一個(gè)鞍點(diǎn).關(guān)鍵點(diǎn). (5) 局部極大（?。┲到y(tǒng)稱為局部極值；全局極大（小）值統(tǒng)稱為全局極值.定義 ，如果，并且對(duì)于任意奇異點(diǎn)都不存在，則稱是一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)或穩(wěn)定點(diǎn).結(jié)論 , 則 一定是:(1)函數(shù)的一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn), 或者(2)函數(shù)的一個(gè)奇異點(diǎn), 或者 (3)定義域的一個(gè)邊界點(diǎn).結(jié)論 如果函數(shù)是一個(gè)在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，則在區(qū)間上有邊界并且可以取到邊界值.定義 對(duì)于任一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，當(dāng)既不是局部極大值也不是局部極小值時(shí)，叫做函數(shù)的鞍點(diǎn).結(jié)論 對(duì)于一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是鞍點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)任意小時(shí)，對(duì)于函數(shù)取正值和負(fù)值.定義 如果 是二元函數(shù)，并且在點(diǎn)處所有二階偏導(dǎo)數(shù)都存在，則則根據(jù)函數(shù)在點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)，有在點(diǎn)處的Hessian矩陣為：.推廣：如果 是三元函數(shù)，并且在點(diǎn)處所有二階偏導(dǎo)數(shù)都存在，則根據(jù)函數(shù)在點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)，有在點(diǎn)處的Hessian矩陣為：.定義 矩陣是 階矩陣，并且對(duì)于每一個(gè)都有,從矩陣中選取左上端的行和列，(),叫做矩陣的順序主子式. 定理 假如是一個(gè)充分光滑的二元函數(shù)，且在點(diǎn)處穩(wěn)定，其Hessian 矩陣為H .如果，則根據(jù)偏導(dǎo)數(shù)判定點(diǎn)是：(1) 一個(gè)局部極大值點(diǎn)， 如果0det(H1) = fxx并且0det(H)=。z) and its volume is V= 8xyz.We want to maximize V given that . (Note that since the constraint surface is bounded a max/min does exist). The Lagrangian isand this has critical points when , . when (Note that will always be the constraint equation.) As we want to maximize V we can assume that so that .)Hence, eliminating , we getso that and But then so or ,which implies that and (they are all positive by assumption). So L has only one stationary point (for some value of , which we could work out if we wanted to). Since it is the only stationary point it must the required max and the max volume is. 附錄二：外文譯文 多元函數(shù)的極值1. 穩(wěn)定點(diǎn) 使并且. 對(duì)于任意一點(diǎn)有以下定義: (1)如果對(duì)于所有充分地接近時(shí)，則是一個(gè)局部極大值。With more than one constraint we solve the equation.Theorem Let and be a point on the curve C, with equation g(x,y) = 0, at which f restricted to C has a local that both and have continuous partial derivatives near to and that is not an end point of and that . Then there is some such that is a critical point of the Lagrangian Function.Proof. Sketch only. Since P is not an end point and ,has a tangent at with normal .If is not parallel to at , then it has nonzero projection along this tangent at .But then f increases and decreases away from along ,so is not an extremum. Henceand are parallel and there is some184。Stationary points can be classified as local maxim , local minim or saddle points.(2) a local minimum if 0det(H1), 0det(H2) and 0det(H3)。(4) a global (or absolute) minimum iffor all points 。最后，我更要感謝我的父母，感謝他們對(duì)我的養(yǎng)育之恩，更感謝他們對(duì)我學(xué)業(yè)的支持與默默奉獻(xiàn)。楊老師嚴(yán)肅的科學(xué)態(tài)度，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)精神，使我受益匪淺。 當(dāng)然，僅僅一個(gè)學(xué)期的論文設(shè)計(jì)，不足之處在所難免，還希望各位老師指正批評(píng)。同樣在函數(shù)極值的應(yīng)用中我們也可以通過(guò)變換構(gòu)造二次函數(shù)的不等式，并依據(jù)根的存在性對(duì)函數(shù)極值的大小做出相應(yīng)的判定。解：由例10可知，這個(gè)問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是求目標(biāo)函數(shù)在約束條件 與 下的最大值和最小值問(wèn)題，有題意可得，設(shè).則曲面在點(diǎn)的法向量為。 梯度法求極值多元函數(shù)的條件極值也可以利用梯度法[15]求目標(biāo)函數(shù)在條件函數(shù)（）組限制下的的極值。② 解方程組(5)與方程組(2)及方程(1)的聯(lián)立方程組。記矩陣則有（1）若正定，則在條件下在點(diǎn)取得極小值；（2）若負(fù)定，則在條件下在點(diǎn)取得極大值；（3）若不定，則在條件下在點(diǎn)不取極值。引入函數(shù)式中為待定函數(shù)，把當(dāng)作個(gè)變量和的無(wú)條件函數(shù)，對(duì)這些變量求一階偏導(dǎo)數(shù)，得駐點(diǎn)所要滿足的方程如下：從上述方程中解得駐點(diǎn)，即可能極值點(diǎn)。由問(wèn)題本身可知最大值一定存在，所以最大值就在這個(gè)可能的極值點(diǎn)處取得。 同樣, 如果二次型 是負(fù)定二次型(是負(fù)定矩陣) , 即，則在足夠小時(shí), 有, 在處取極大值.[9] 多元函數(shù)極值的求法 在前面所討論二元函數(shù)極值問(wèn)題的求解方法時(shí)，提到了二元函數(shù)的極值問(wèn)題分為無(wú)條件極值和條件極值兩大類，同樣在多元函數(shù)（）.（1）求出函數(shù)的駐點(diǎn)，根據(jù)極值存在的必要條件，解方程組 解得方程組的解即為函數(shù)的駐點(diǎn). （2）需要考慮一階偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn).（3），計(jì)算在點(diǎn)的矩陣， （4）再根據(jù)極值存在的充分條件判定方法，判定是否為極值點(diǎn)，進(jìn)而并求出函數(shù)的極值.[10]例7求函數(shù)的極值解：，解方程組：， 解得駐點(diǎn)為又，則矩陣，顯然其各階順序主子式全都大于零，則是正定矩陣，故在取得極小值，極小值為 代入法求極值在前面的二元函數(shù)條件極值的求解方法中，已經(jīng)提到了代入法和乘數(shù)法，這兩種方法不僅僅適用于二元函數(shù)的條件極值求解方法，而且可以推廣到多元函數(shù)（）的條件極值求解。(3) 當(dāng)時(shí)，函數(shù)在處可能有極值，也可能沒(méi)有極值.在此應(yīng)注意的幾個(gè)問(wèn)題：(1)對(duì)于二元函數(shù),在定義域內(nèi)求極值這是一個(gè)比較適用且常用的方法, 但是這種方法對(duì)三元及更多元的函數(shù)并不適用； (2)時(shí)可能有極值, 也可能沒(méi)有極值，還需另作討論；(3)如果函數(shù)在個(gè)別點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)不存在，這些點(diǎn)當(dāng)然不是駐點(diǎn)，但也可能是極值點(diǎn)，討論函數(shù)的極值問(wèn)題時(shí)這些點(diǎn)也應(yīng)當(dāng)考慮. 根據(jù)定理1與定理2，如果函數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則求的極值的一般步驟如下：（1）解方程組 求出的所有駐點(diǎn)；（2）求出函數(shù)每一個(gè)駐點(diǎn)的二階偏導(dǎo)數(shù)，確定各駐點(diǎn)處A、B、C的值，并根據(jù)的符號(hào)判定駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn).（3）最后求出函數(shù)在極值點(diǎn)處的極值. 例4 求函數(shù)的極值解：， 解方程組： 得駐點(diǎn)為：(1,0),(1,2),(3,0),(3,2).
令 則在點(diǎn)(1,0)處，且 為