【正文】 故 是極小值點(diǎn).極小值為 第4章 多元函數(shù)極值的求解方法 多元函數(shù)極值（）定義定義3 設(shè)多元函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義,對于該鄰域內(nèi)任何點(diǎn),成立不等式 (或),則說函數(shù) 在處取極大值(或極小值),點(diǎn)稱為函數(shù)的極值點(diǎn). 梯度定義4 設(shè)n元函數(shù)在點(diǎn)具有偏導(dǎo)數(shù)，則稱向量[]為函數(shù)在點(diǎn)的梯度，記作,即 [] 矩陣 定義5 設(shè)n元函數(shù)在點(diǎn)點(diǎn)具有二階偏導(dǎo)數(shù)，則稱矩陣為函數(shù)在點(diǎn)的矩陣，若二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則是實(shí)對稱矩陣. 多元函數(shù)極值必要條件定理1設(shè)元函數(shù)在點(diǎn)存在偏導(dǎo)數(shù)，且在該點(diǎn)取得極值，則，即.（滿足的點(diǎn)稱為元函數(shù)的駐點(diǎn)） 證：元函數(shù)在點(diǎn)取得極值,令 分別等于，即可得一元函數(shù)在點(diǎn)處取得極值，于是有，同理，因此， 多元函數(shù)極值充分條件　定理 2[9] 設(shè)多元函數(shù) 在 的某鄰域內(nèi)存在一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 又則:（1） 當(dāng)是正定矩陣時, 函數(shù)在點(diǎn)取得極小值。（2） 當(dāng)是負(fù)定矩陣時, 函數(shù)在點(diǎn)取得極大值。（3）當(dāng)是非定號陣時，函數(shù)在點(diǎn) 不取極值證:考慮函數(shù)在 點(diǎn)的展開式: [] 因?yàn)? 所以, .因此, 函數(shù)在點(diǎn)是否取得極值完全取決于二次型 的符號.如果二次型是正定二次型(是正定矩陣) , 即, 則在足夠小時, , 在處取極小值。 同樣, 如果二次型 是負(fù)定二次型(是負(fù)定矩陣) , 即，則在足夠小時, 有, 在處取極大值.[9] 多元函數(shù)極值的求法 在前面所討論二元函數(shù)極值問題的求解方法時，提到了二元函數(shù)的極值問題分為無條件極值和條件極值兩大類，同樣在多元函數(shù)（）.（1）求出函數(shù)的駐點(diǎn)，根據(jù)極值存在的必要條件，解方程組 解得方程組的解即為函數(shù)的駐點(diǎn). （2）需要考慮一階偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn).（3），計算在點(diǎn)的矩陣， （4）再根據(jù)極值存在的充分條件判定方法，判定是否為極值點(diǎn)，進(jìn)而并求出函數(shù)的極值.[10]例7求函數(shù)的極值解：，解方程組：， 解得駐點(diǎn)為又，，則矩陣，顯然其各階順序主子式全都大于零，則是正定矩陣，故在取得極小值，極小值為 代入法求極值在前面的二元函數(shù)條件極值的求解方法中，已經(jīng)提到了代入法和乘數(shù)法，這兩種方法不僅僅適用于二元函數(shù)的條件極值求解方法，而且可以推廣到多元函數(shù)（）的條件極值求解。代入直接求解由等式條件所構(gòu)成的方程組消去問題中的某些變量，將原問題轉(zhuǎn)化為無條件極值問題[11]．從另外一種形式上講，代入法就是采用降維的原理將多元函數(shù)的條件極值問題轉(zhuǎn)化為無條件極值的函數(shù)極值問題.例8求函數(shù)在條件下的極值.解：由解得，將上式代入函數(shù)，得解方程組 ， 解得駐點(diǎn)又， 在點(diǎn)處，則， ∴不是極值點(diǎn)在點(diǎn)處，則，且∴為極小值點(diǎn)綜上所述，函數(shù)在點(diǎn)處有極小值，極小值為. 乘數(shù)法求極值在求解二元函數(shù)條件極值的方法同樣也適用于多元函數(shù)（）條件極值的求解，通過構(gòu)造拉格朗日函數(shù)，解出相對應(yīng)的解，對解出的結(jié)果進(jìn)行判斷，從而判定多元函數(shù)條件極值的極值。例9[12] 求表面積為而體積最大的長方體的體積。 解：設(shè)長方體的三棱長為，則原問題就轉(zhuǎn)化為求在條件下長方體體積的最大值，構(gòu)造拉格朗日函數(shù)求其對的偏導(dǎo)數(shù)，有，解方程組由于都不為0，解得這是唯一可能的極值點(diǎn)。由問題本身可知最大值一定存在，所以最大值就在這個可能的極值點(diǎn)處取得。也就是說，表面積為的長方體中，以棱長為的正方體體積最大，最大體積。乘數(shù)法不僅僅適用于單個約束條件下的條件極值求解，同樣也可以適用于多個約束性條件下的函數(shù)極值求解?？紤]多元函數(shù)在個約束條件 下的極值。引入函數(shù)式中為待定函數(shù)，把當(dāng)作個變量和的無條件函數(shù)，對這些變量求一階偏導(dǎo)數(shù)，得駐點(diǎn)所要滿足的方程如下：從上述方程中解得駐點(diǎn)，即可能極值點(diǎn)。利用上述方法只是求出駐點(diǎn)，還需要進(jìn)一步判斷。若函數(shù)在點(diǎn)處取得極值，則在條件下在點(diǎn)處也取得極值，且同取極大值和極小值。判定準(zhǔn)則（正定判別法）：由多元函數(shù)極值的充分必要條件可知，設(shè)為的極值點(diǎn)，令滿足式。記矩陣則有（1）若正定，則在條件下在點(diǎn)取得極小值；（2）若負(fù)定，則在條件下在點(diǎn)取得極大值；（3）若不定，則在條件下在點(diǎn)不取極值。例10 拋物面被平面截成一個橢圓，求這個橢圓到坐標(biāo)原點(diǎn)的最長和最短距離 解：這個問題的實(shí)質(zhì)是求函數(shù)在約束條件 與 下的最大值和最小值問題，應(yīng)用乘數(shù)法，令 求其對的偏導(dǎo)數(shù)，有，解方程組 ，得函數(shù)的兩個駐點(diǎn)因?yàn)楹瘮?shù) 在有界閉集 上連續(xù)，必有最大值和最小值，而求得的穩(wěn)定點(diǎn)又恰是兩個，所以它們一個是最大點(diǎn)，另一個是最小。應(yīng)用正定判別法：，，，對于，有顯然矩陣式正定矩陣，是函數(shù)的極小值點(diǎn)，其極小值為.同理對于可得，是函數(shù)的極大值點(diǎn)，其極大值為.即這個橢圓到坐標(biāo)原點(diǎn)的最長和最短距離分別為和 Jacobi矩陣法求極值設(shè)方程 (1)在某鄰域內(nèi)滿足隱函數(shù)存在定理的所有條件,它確定的隱函數(shù)為,又設(shè)約束方程組為 (2)其中, 函數(shù)在上述鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 且彼此獨(dú)立.現(xiàn)在要求方程(1)給出的目標(biāo)函數(shù)在約束方程組(2), 設(shè)拉格朗日函數(shù)則目標(biāo)函數(shù)具有條件極值的必要條件是: (3),若目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)取得條件極值, 則 滿足方程組(3).若方程組(3)有解,將代入(3)的前個方程的偏導(dǎo)函數(shù)中, 并用、表示點(diǎn)處的各偏導(dǎo)數(shù)值, 并以為未知數(shù)構(gòu)造線性方程組: (4)顯然方程組(4)有非零解,故方程組(4)的系數(shù)矩陣的秩, 其中由此可知方程組(3)的前個方程的所有解對應(yīng)的函數(shù)矩陣也滿足. 因此矩陣A的后列元素對應(yīng)的函數(shù)矩陣是函數(shù)對于一切自變量的偏導(dǎo)數(shù)所組成的雅可比矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣,由函數(shù)的彼此獨(dú)立性知,故所以, 目標(biāo)函數(shù)具有條件極值的必要條件是.將函數(shù)矩陣A 看作是在所討論的某鄰域內(nèi)某點(diǎn)處的各偏導(dǎo)數(shù)所組成的數(shù)值矩陣, 進(jìn)行如下初等變換: 將A的第1列乘以加到第2列。 將A的第1列乘以加到第3列,直至將A的第1列乘以加到第+1列,可得與A等價的矩陣 , 其中由隱函數(shù)存在定理知, 對方程所確定的隱函數(shù), 有:故再將的第1列乘以得矩陣故, 且,因?yàn)楹瘮?shù)矩陣的秩為, 故中必有一個m階子式不恒為零. 不失一般性，可設(shè)的右上角的階子式,其中而且中所有包含的個+1階的加邊行列式都等于零, 其中, . (5)由此可知[13], 若由方程(1)所確定的目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)取得滿足約束方程組(2)的條件極值, 則點(diǎn)必滿足方程組(5) .綜合以上, 可得求方程(1)所確定的目標(biāo)函數(shù)滿足約束方程組(2)的條件極值的如下方法[14]:① 選定不恒為零的階子式D,寫出方程組(5),即, 。② 解方程組(5)與方程組(2)及方程(1)的聯(lián)立方程組。③ 對解出的可能的條件極值點(diǎn)加以判斷. 例11 求表面積為而體積最大的長方體的體積。解：設(shè)長方體的三棱長為，則長方體的體積為，原問題就轉(zhuǎn)化為求方程所給處的目標(biāo)函數(shù)在約束條件下長方體體積的條件極值，由與，可得解聯(lián)立方程組得方程組的解為由實(shí)際意義及問題本身可知其極大值一定存在，也即其最大值，所以點(diǎn)就是原方程的最大極值點(diǎn)。也就是說，表面積為的長方體中，以棱長為的正方體體積最大，最大體積。 梯度法求極值多元函數(shù)的條件極值也可以利用梯度法[15]求目標(biāo)函數(shù)在條件函數(shù)（）組限制下的的極值。函數(shù)在點(diǎn)處的梯度向量，；設(shè)為個條件相交部分的方程，其中是一些固定的常數(shù)，這樣我們就可以把多個條件轉(zhuǎn)化了為一個條件，而曲面在點(diǎn)處的法向量為:，其中；設(shè)曲面在點(diǎn)處的切平面上的一個切向量為：，可以得到一個切向量，如令，則，消去，于是得到切平面上的一個切向量，類似可以得到另外的個向量，…。把這個向量與作內(nèi)積并令它們?yōu)?，得到個方程，通過解該方程組以及個極值條件，我們就可以得到極值點(diǎn)的坐標(biāo)。例12[16] 已知拋物面被平面截成一個橢圓，求原點(diǎn)到這個橢圓的的最長和最短距離。解：由例10可知，這個問題的實(shí)質(zhì)是求目標(biāo)函數(shù)在約束條件 與 下的最大值和最小值問題，有題意可得，設(shè).則曲面在點(diǎn)的法向量為。又曲面在點(diǎn)的切平面上有兩個向量，和，把這兩個向量與作內(nèi)積，使其為0；則可得到下列方程組：解方程組：解得其函數(shù)的駐點(diǎn)為，；由題意知，函數(shù)在有界閉集上連續(xù)，則函數(shù)必有最大值和最小值，而求得的穩(wěn)定點(diǎn)又恰是兩個，所以它們一個是極大值點(diǎn)，另一個是極小值點(diǎn)。又，則原點(diǎn)到這個橢圓的的最長和最短距離分別為和 二次方程判別式法求極值二次方程判別式法[17]在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用很廣泛，在眾多的期刊與學(xué)術(shù)報告中都提到其的應(yīng)用。根據(jù)判別式的正負(fù)關(guān)系從而判定根的是否存在性。同樣在函數(shù)極值的應(yīng)用中我們也可以通過變換構(gòu)造二次函數(shù)的不等式，并依據(jù)根的存在性對函數(shù)極值的大小做出相應(yīng)的判定。例13 若,試求的極值.解: 由得,代入得整理得： ①則有: ②即 ③解關(guān)于的二次不等式③,得: ④顯然,求函數(shù)的極值, 相當(dāng)于求 ⑤或 ⑥的極值.由⑤式得 ⑦關(guān)于的二次方程要有實(shí)數(shù)解,必須, 即 ⑧解此關(guān)于的二次不等式,把代入⑦得：,再把，代入①,得,最后把，代入，得.所以,當(dāng),時,函數(shù)達(dá)到極大值3.同理可得,當(dāng),時,函數(shù)達(dá)到極小值3.所謂標(biāo)準(zhǔn)量代換法[17]，就是在求某些多個變量的條件極值時，我們可以選取某個與這些變量有關(guān)的量作為標(biāo)準(zhǔn)量，稱其余各量為比較量，然后將比較量用標(biāo)準(zhǔn)量與另外選取的輔助量表示出來,這樣就將其變?yōu)檠芯繕?biāo)準(zhǔn)量與輔助量間的關(guān)系了. 如果給定條件是幾個變量之和的形式，一般設(shè)這幾個量的算術(shù)平均數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)量.例14 設(shè),求的最小值.解：取為標(biāo)準(zhǔn)量, 令,則 (為任意實(shí)數(shù))，從而有(等號當(dāng)且僅當(dāng)即時成立). 最小值為結(jié) 束 語