【正文】 na abb? ? ? ? ? ????????. 定理 （單調(diào)有界定理） 在實(shí)數(shù)系中，有界的單調(diào)數(shù)列必有極限 . 定理 （ ? Stoltz公式） 設(shè)有數(shù)列 ??nx ， ??ny ，其中 ??nx 嚴(yán)格增，且 limnn x??? ???（注意：不必 limnn y??? ???） .如果 3 11limnnnnnyy axx???? ?? ?? （實(shí)數(shù)， ,???? ）， 則 11lim lim .n n nnnn n ny y yax x x ?? ?? ? ?? ???? ? 定理 39。（ 00 Stoltz 公式） 設(shè) ??nx 嚴(yán)格減，且 lim 0nn x??? ?， lim 0nn y??? ?.若 11limnnnnnyy axx???? ?? ?? （實(shí)數(shù)， ,???? ）， 則 11lim limn n nnnn n ny y yax x x ?? ?? ? ?? ???? ?. 定理 （幾何算術(shù)平均收斂公式） 設(shè) limnn aa?? ?，則 （ 1） 12 ...lim nna a a an??? ? ? ?， （ 2） 若 ? ?0 1, 2,...nan?? ，則12lim ...n nn a a a a?? ?. 定理 （夾逼準(zhǔn)則） 設(shè)收斂數(shù)列 ? ?? ?,nnab都以 a 為極限，數(shù)列 ??nc 滿足： 存在正數(shù) 0N ，當(dāng) 0nN? 時(shí)，有 nnna c b??， 則數(shù)列 ??nc 收斂，且 limnn ca?? ?. 定理 （歸結(jié)原則） 設(shè) f 在 ? ?0。Ux?? 內(nèi)有定義 . ? ?0limxxfx?存在的充要條件是：對任何含于 ? ?0。Ux?? 且以 0x 為極限的數(shù)列 ??nx ，極限? ?lim nn fx?? 都存在且相等 . 4 第二章 數(shù)列極限的求法 極限定義求法 在用數(shù)列極限定義法求時(shí)，關(guān)鍵是找到正數(shù) N .我們前面一節(jié)的定理 （幾何算術(shù)平均收斂公式）的證明就可用數(shù)列極限來證明，我們來看幾個(gè)例子 . 例 求 limnn a??， 其中 0a? . 解 ： lim 1nn a?? ?. 事實(shí)上，當(dāng) 1a? 時(shí)，結(jié)論顯然成立 .現(xiàn)設(shè) 1a? .記 1 1na???， 則 0?? . 由 ? ? 11 1 1 1n na n n a?? ??? ? ? ? ? ? ?????, 得 1 11n aa n??? . （ 5） 任給 0?? ， 由（ 5）式可見，當(dāng) 1anN????時(shí)，就有 1 1na ??? .即 1 1na ??? .所以 lim 1nn a?? ?. 對于 01a??的情況，因 1 1a? ， 由上述結(jié)論知 1lim 1nn a?? ?， 故 11lim lim 111/n nnna a? ? ? ?? ? ?. 綜合得 0a? 時(shí) ， lim 1nn a?? ?. 例 定理 （ 1） 式證明 . 證明 ： 由 limnn aa?? ?，則 0???，存在 1 0N? ，使當(dāng) 1nN? 時(shí)，有 /2naa??? , 則 5 ? ?1112 11... 1 . . . . . .n N N na a a a a a a a a a a ann ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. 令11 ... Nc a a a a? ? ? ? ?，那么 12 1...2na a a nNcan n n ?? ? ? ?? ? ? ?. 由 lim 0n?? ?，知存在 2 0N? ，使當(dāng) 2nN? 時(shí) ，有 2 ?? . 再令 ? ?12m ax ,N N N? ,故當(dāng) nN? 時(shí)，由上述不等式知 12 1...2 2 2 2na a a nNann ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?. 所以 12 ...lim nna a a an??? ? ? ?. 例 求 7lim!nn n??. 解 ： 7lim 0!nn n?? ?. 事實(shí)上， 777 7 7 7 7 7 7 7 7 7 1.. . .. .! 1 2 7 8 1 7 ! 6 !nn n n n n? ? ? ? ? ? ? ??. 即 77 7 10! 6!nnn? ? ?. 對 0???，存在 7716!N ?????????，則當(dāng) nN? 時(shí)，便有 77 7 10! 6 !nnn?? ? ? ? ，所以 7lim 0!nn n?? ?. 注 ：上述例題中的 7 可用 c 替換，即 ? ?lim 0 0!nnc ?? ??. 極限運(yùn)算法則法 我們知道如果每次求極限都用定義法的話，計(jì)算量會太大 .若已 6 知某些極限的大小，用定理 就可以簡化數(shù)列極限的求法 . 例 求 11 1 011 1 0...l im ...mmmmkkn kka n a n a n ab n b n b n b????? ?? ? ? ?? ? ? ?,其中 00mkm k a b? ? ?， ， . 解 ：分子分母同乘 kn? ，所求極限式化為 111 1 0111 1 0...l im ...m k m k k kmmkkn kka n a n a n a nb b n b n b n? ? ? ? ??? ? ??? ?? ? ? ?? ? ? ?. 由 ? ?lim 0 0n n ? ???? ??，知， 當(dāng) mk? 時(shí)，所求極限等于 mmab ；當(dāng) mk? 時(shí)，由于 ? ?00mknn? ??，故此時(shí)所求極限等于 ，得到 11 1 011 1 0,...l im .... 0,mmmmm mkknkka kma n a n a n abb n b n b n bkm??????? ?? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ??? 例 求 lim1nnn aa?? ?，其中 1a?? . 解 : 若 1a? ，則顯然有 1lim 12nnn aa?? ??； 若 1a? ，則由 lim 0nn a?? ?得 ? ?l im l im / l im 1 01n nnnn n na aaa? ? ? ? ? ?? ? ??； 若 1a? ，則 11l i m l i m 111 1 01nnnnnaa a? ? ? ?? ? ????. 夾逼準(zhǔn)則求法 定理 ，它不僅給出了判定數(shù)列收斂的一種方 7 法，而且也提供了一個(gè)求極限的工具 . 例 求極限 ? ?? ?1 3 2 1lim2 4 2n n n?? ? ??? ?? ???. 解 ：因?yàn)? ? ? ? ? ? ? ? ?222 4 4 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1n n n n n n n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 所以 ? ?? ?1 3 2 1 1 3 3 2 1 2 1 102 4 2 1 3 3 5 2 1 2 1 2 1n nnn n n n? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ??? ?? ??? ? ? ? ? ? ?. 因 1lim 021n n?? ??，再由迫斂性知 ? ?? ?1 3 2 1lim 02 4 2n n n?? ? ??? ? ?? ???. 例 求數(shù)列 ? ?nn 的極限 . 解 ： 記 1nnna n h? ? ? ，這里 ? ?01nhn??，則 ? ? ? ? 211 2nnn nnn h h?? ? ? , 由上式得 ? ?2011nhnn? ? ??，從而有 21 1 11nnah n? ? ? ? ? ? , （ 2） 數(shù)列 211n??????????是收斂于 1 的，因?qū)θ谓o的 0?? ，取221N ???，則當(dāng)nN? 時(shí)有 2111n ?? ? ?? .于是，不等式（ 2）的左右兩邊的極限皆為1,故由迫斂性得 lim 1nn n??