【正文】 Stoltz formula。 Function limits 目 錄 第一章 數(shù)列極限的概念 ................................. 1 數(shù)列極限的定義及分類 .............................. 1 數(shù)列極限求法的常用定理 ............................ 2 第二 章 數(shù)列極限的求法 .................................. 4 極限定義求法 ...................................... 4 極限運(yùn)算法則法 .................................... 5 夾逼準(zhǔn)則求法 ...................................... 6 單調(diào)有界 定理求法 .................................. 8 函數(shù)極限法 ........................................ 9 定積分定義法 ..................................... 10 Stoltz 公式法 ..................................... 11 幾何算術(shù)平均收斂 公式法 ............................ 12 級數(shù)法 ........................................... 13 其它方法 ........................................ 15 第三章 數(shù)列極限在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用 ..................... 17 幾何應(yīng)用 計(jì)算 面積 ................................ 17 求方程的數(shù)值解 ................................... 18 市場經(jīng)營中的穩(wěn)定性問題 ............................ 19 零增長模型 .................................. 19 不變增長 模型 ................................ 20 購房按揭貸款分期償還 .............................. 21 第四章 結(jié) 論 ......................................... 23 致 謝 .............................................. 24 參考文獻(xiàn) ............................................. 24 1 數(shù)列極限的求法及其應(yīng)用 學(xué)號： 071106132 作者：楊少鮮 指導(dǎo)老師：董建偉 職稱：講師 第一章 數(shù)列極限的概念 在研究數(shù)列極限解法之前，首先我們要清楚數(shù)列極限的定義 .這是對數(shù)列極限做進(jìn)一步深入研究的先決基礎(chǔ) . 數(shù)列極限的定義及分類 數(shù)列極限概念是由于求某些實(shí)際問題的精確解答而產(chǎn)生的 .如，我國古代數(shù)學(xué)家劉徽（公元 3 世紀(jì)）利用圓內(nèi)接正多邊形來推算圓面積的方法 — 割圓術(shù) .因一系列圓內(nèi)接正多邊形的面積 nA 在 n 無限增大（ n?? ）時(shí)，內(nèi)接正多邊形無限接近于圓，同時(shí) nA 也無限接近于某一確定的數(shù)，此時(shí)這一數(shù)值可精確表達(dá)圓的面積 .在解決類似的實(shí)際問題中逐步的引出了數(shù)列極限 . 針對不同的數(shù)列極限我們對其定義將會有細(xì)微的不同，下面主要介紹兩 種定義： N?? 定義， AN? 定義 . 定義 1（ N?? 語言） ：設(shè) ??na 是個(gè)數(shù)列， a 是一個(gè)常數(shù)，若 0???， ? 正整數(shù) N ，使得當(dāng) nN? 時(shí)，都有 naa???，則稱 a 是數(shù)列 ??na 當(dāng) n 無限 2 增大時(shí)的極限，或稱 ??na 收斂于 a ，記作 limnn aa??? ?，或 ? ?na a n? ? ??.這時(shí)，也稱 ??na 的極限存在 . 定義 2（ AN? 語言） ：若 0A ? ,? 正整數(shù) N ，使得當(dāng) nN? 時(shí)，都有 naA? ,則稱 ?? 是數(shù)列 ??na 當(dāng) n 無限增大時(shí)的非正常極限，或稱 ??na 發(fā)散于?? ，記作 limnn a??? ???或 ? ?nan? ?? ? ??，這時(shí)，稱 ??na 有非正常極限 . 對于 ,??? 的定義類似，就不作介紹了 .為了后面數(shù)列極限的解法做鋪墊，我們先介紹一些常用定理 . 數(shù)列極限求法的常用定理 定理 （數(shù)列極限的四則運(yùn)算法則） 若 ??na 和 ??nb 為收斂數(shù)列，則 ? ? ? ? ? ?,n n n n n na b a b a b? ? ?也都是收斂數(shù)列， 且有 ? ?? ?l i m l i m l i m ,l i m l i m l i m .n n n nn n nn n n nn n na b a ba b a b? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? 若再假設(shè) 0nb? 及 lim 0nn b?? ?，則 nnab??????也是收斂數(shù)列，且有 lim lim / limn nnn n nna abb? ? ? ? ? ????????. 定理 （單調(diào)有界定理） 在實(shí)數(shù)系中，有界的單調(diào)數(shù)列必有極限 . 定理 （ ? Stoltz公式） 設(shè)有數(shù)列 ??nx ， ??ny ，其中 ??nx 嚴(yán)格增，且 limnn x??? ???（注意：不必 limnn y??? ???） .如果 3 11limnnnnnyy axx???? ?? ?? （實(shí)數(shù)， ,???? ）， 則 11lim lim .n n nnnn n ny y yax x x ?? ?? ? ?? ???? ? 定理 39。 Squeezing law。（ 00 Stoltz 公式） 設(shè) ??nx 嚴(yán)格減，且 lim 0nn x??? ?， lim 0nn y??? ?.若 11limnnnnnyy axx???? ?? ?? （實(shí)數(shù)， ,???? ）， 則 11lim limn n nnnn n ny y yax x x ?? ?? ? ?? ???? ?. 定理 （幾何算術(shù)平均收斂公式） 設(shè) limnn aa?? ?，則 （ 1） 12 ...lim nna a a an??? ? ? ?， （ 2） 若 ? ?0 1, 2,...nan?? ，則12lim ...n nn a a a a?? ?. 定理 （夾逼準(zhǔn)則） 設(shè)收斂數(shù)列 ? ?? ?,nnab都以 a 為極限，數(shù)列 ??nc 滿足： 存在正數(shù) 0N ，當(dāng) 0nN? 時(shí)，有 nnna c b??， 則數(shù)列 ??nc 收斂，且 limnn ca?? ?. 定理 （歸結(jié)原則） 設(shè) f 在 ? ?0。ll also find that different methods can be used to solve the same limit. Finally, we also briefly introduce the applications of sequence limit in real life, such as, infering the area of a circle in geometry, finding the numerial solution of equations, studying the stability of the market operation and the amortization problems of purchase mortgage loans. Key Words N?? definition。Ux?? 內(nèi)有定義 . ? ?0limxxfx?存在的充要條件是：對任何含于 ? ?0。 鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院 畢 業(yè) 論 文（設(shè) 計(jì)） 屆 專業(yè) 班級 題 目 數(shù)列極限的求法及其應(yīng)用 二 О一一 年 五 月 二十 日 內(nèi) 容 提 要 數(shù)列極限可用 N?? 語言和 AN? 語言進(jìn)行準(zhǔn)確定義，本 文主要講