【正文】 基于上述的考慮，我將內(nèi)容分章編寫，設(shè)計(jì)為緒論、簡(jiǎn)易構(gòu)造、 復(fù)合構(gòu)造和總結(jié)四個(gè)章節(jié)，其中，第一章緒論是介紹構(gòu)造法的歷史和構(gòu)造法對(duì)未來的發(fā)展，第四章總結(jié)是對(duì)本文知識(shí)點(diǎn)和課題研究?jī)煞矫娴目偨Y(jié)，使讀者對(duì)本文所涉及的內(nèi)容能更快的了解，第二章簡(jiǎn)易構(gòu)造和第三章復(fù)合構(gòu)造是本文的重點(diǎn)，包含了所有構(gòu)造模型、思維方法和得出的結(jié)論。下面我對(duì)本文在編寫過程中的幾點(diǎn)考慮作些說明。 第三，內(nèi)容的變更。同時(shí)，對(duì)二級(jí)構(gòu)造和三級(jí)構(gòu)造中的相關(guān)題型和結(jié)論的熟練掌握，有利于提升構(gòu)造思維，在面對(duì)一些陌生的數(shù)列題型時(shí)，可以有依靠，也就是有思路，因?yàn)闃?gòu)造法就是把陌生的題型轉(zhuǎn)化為熟悉的模型，多掌握一種題型就多有一種思維方法。 分別應(yīng)用了除法構(gòu)造，取到構(gòu)造和取對(duì)構(gòu)造。比如說：對(duì)于復(fù)核數(shù)列??? ??????nnnnnn dbcab bbaaa11 求通項(xiàng) na ， nb ，我們可以構(gòu)造新數(shù)列： 第三章 復(fù)合構(gòu)造 20 ? ?nn ba ?? ，即 ? ? ? ? ? ? ?????? ??????????? ?? nnnnnn bca dbacabdbacaba ?????? 11 ，在令ca db ??? ??? ，即 ? ? 02 ???? bda ?? ，求出 ? 的值，而 ? ?? ?nnnn bacaba ??? ???? ?? 11構(gòu)成了以 11 ba ?? 為首項(xiàng)， ca ?? 為公比的等比數(shù)列，進(jìn)而求出 na ， nb 。 解： 構(gòu)造假設(shè)： ? ?12 22 1 12 1? ???? ? ?? n nnn a ccaaca 假設(shè) c=2,可得： ? ?? ?12 22 121???? ??nnn aaa......................................? 由題意： ? ?12 121?? ??nnn aaa ...............................................? ?/?得： 211 22 ???????? ?????nnnn a aa a 兩邊取對(duì)數(shù)： 22 1 1lg2lg ?? ? ?? n nn n aaaa 第二章 簡(jiǎn)易構(gòu)造 16 所以數(shù)列?????????? ?2lgnnaa 是以 3lg 為首項(xiàng)， 2 為公比的等比數(shù)列。以下是兩種典型的三級(jí)構(gòu)造模型。 解：將 11 23 ?? ?? nnn aa 兩邊同時(shí)除以 n2 ，可得： 21223211??? ??nnnn aa 設(shè)nnn ab 2?，則 21231 ?? ?nn bb（滿足一級(jí)構(gòu)造數(shù)列表達(dá)式） 由結(jié)論 1 得： 123 ????????nna（ 2?n ） 從而得出： nnna 23 ?? （ 2?n ） 當(dāng) 1?n 時(shí)， 1231 ???a ，滿足 nnna 23 ?? 所以數(shù)列 ??na 的通項(xiàng)公式為 nnna 23 ?? 二級(jí)構(gòu)造的數(shù)列表達(dá)式 2 (取倒構(gòu)造 ) 一般的，形如cadaa n nn ?? ? ?1 1（ 2?n ， c,d 為常數(shù)且 0?d ）的式子，我們稱為二級(jí)構(gòu)造數(shù)列表達(dá)式。需要注意的是，不是所有的超一級(jí)構(gòu)造都能轉(zhuǎn)變成一級(jí) 構(gòu)造，比如說：超一級(jí)構(gòu)造數(shù)列表達(dá)式 ncaa nn ?? ?1 （ 2?n ）就不能轉(zhuǎn)變成一級(jí)構(gòu)造。 思想構(gòu)造：不妨設(shè) ? ?? ?BnAacBAna nn ?????? ? 11 即 ? ? cABcBnAcAcaa nn ?????? ? 1 又 ? ncaa nn ?? ?1 ? ??? ??? ?? 01cABcB AcA ? ? ???????????2111ccB cA ? ? ? ? ? ???????? ?????????? ?212 11111 c cacc cc na nn （驗(yàn)證： ? ? ? ? ???????? ?????????? ?212 11111 c cacc cc na nn? ncaa nn ?? ?1 ） ? 數(shù)列 ? ? ?????? ???? 211 c cc na n 是以 ? ?21 111 ???? c cca為首項(xiàng)， c 為公比的等比數(shù)列。 一級(jí)構(gòu)造的數(shù)列表達(dá)式 一般地，形如 dcaa nn ?? ?1 （ 2?n ， c,d 為常數(shù)）的式子，我們稱為一級(jí)構(gòu)造的數(shù)列表達(dá)式。為了讓 一般數(shù)學(xué)家容易看懂 ，他 采用數(shù)學(xué)上大家熟悉的習(xí)慣術(shù)語和符號(hào) 。 他 用標(biāo)準(zhǔn)構(gòu)造性的方法，采納直覺派邏輯 ，他所形成的 是一種 即限制對(duì)象的類， 又 限制可容許證明方法的類的理論 。歷史上不少著名的數(shù)學(xué)家，如歐幾里德，高斯，歐拉，拉格朗日維爾斯特拉斯等，都曾利用構(gòu)造法成功解決過數(shù)學(xué)上的難題。在不斷探討過程中，我發(fā)現(xiàn)構(gòu)造法求通項(xiàng)公式是一種重要的有效方法，它比較靈活，可以通過構(gòu)造一個(gè)與原數(shù)列相關(guān)的新數(shù)列，轉(zhuǎn)化為具有特殊性質(zhì)的數(shù)列，從而找到解題的新方法。構(gòu)造法本身具有靈活性，應(yīng)用上具有廣泛性，是解決數(shù)學(xué)模型以及其他模型的一種重要方法。 本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 題 目： 構(gòu)造法在求數(shù)列通項(xiàng)公式中的應(yīng)用 系 別： 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)系 專業(yè)班級(jí)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 2021 級(jí) 安 順 學(xué) 院 本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）原創(chuàng)性申明 本人鄭重申明：所呈交的論文（設(shè)計(jì)）是本人在導(dǎo)師的指導(dǎo)下獨(dú)立進(jìn)行研究所取得的研究成果。本文以常見的數(shù)列題型作為課題研究對(duì)象來探討構(gòu)造法在求數(shù)列通項(xiàng)公式中的應(yīng)用，其中涉及了簡(jiǎn)易數(shù)列和復(fù)合數(shù)列兩大板塊，包含十一種常見模型。 在論文的選題上，我主要依據(jù)以下兩點(diǎn)：一是在實(shí)習(xí)過程中對(duì)學(xué)生在數(shù)列上存在的問題有所了解，以及本人在數(shù)列求通項(xiàng)公式上有一定的知識(shí)積累；二是數(shù)列的實(shí)質(zhì)是按照一定的規(guī)律排 列成的一列數(shù)，描述這種規(guī)律的最簡(jiǎn)單的形式是通項(xiàng)公式，因此，求數(shù)列的通項(xiàng)公式就成為研究數(shù)列的一個(gè)主要課題。 構(gòu)造法歷史進(jìn)程大概可分為這樣三個(gè)階段：一是直覺數(shù)學(xué)階段， 德國(guó)的克隆尼克明確提出并強(qiáng)調(diào)了能行性， 并 主張沒有能行性就不得承認(rèn)它的存在性 ，成為直覺數(shù)學(xué)階段的先驅(qū)者 。接著， 沙寧 通過對(duì) 各種古典理論在馬爾科夫算法數(shù)學(xué)中的模擬物 的研究， 能夠展述分析中象希爾伯特空間和勒貝格積分的構(gòu)造性理論。比肖泊為構(gòu)造法建立了一個(gè)更為廣泛，更為完整的理論，他在馬爾科夫的基礎(chǔ)上解決了閱讀困難和數(shù)學(xué)實(shí)踐上存在的問題，體現(xiàn)出構(gòu)造法的靈活性、廣泛性和實(shí)用性，激發(fā)了人們對(duì)構(gòu)造思想的認(rèn)可。 注意： dcaa nn ?? ?1 （ 2?n ， c,d 為常數(shù)）是其中一種一級(jí)構(gòu)造的數(shù)列表達(dá)式，而不是唯一的一級(jí)構(gòu)造的數(shù)列表達(dá)式。 ? ? ? ? ? 1212 11111 ????????? ????????? nn cc ccac cc na 從而得出：? ? ? ?????? ??????????????????? ? 2,111111,21211nc cc ncc ccanaa nn ※ 結(jié)論 2：超一級(jí)構(gòu)造數(shù)列表達(dá)式 ncaa nn ?? ?1 （ 2?n ）的通項(xiàng)公式為： 第二章 簡(jiǎn)易構(gòu)造 7 ? ? ? ?2121 11111 ???????????? ????? ? c cc ncc ccaa nn （ 2?n ） 例 2：在數(shù)列 ??na 中，已知 11?a ，且數(shù)列 ??na 滿足 naa nn ?? ?12 （ 2?n ），求通項(xiàng)公式 na 。 二級(jí)構(gòu)造 二級(jí)構(gòu)造是在一級(jí)構(gòu)造的基礎(chǔ)上進(jìn)行討論的，也就是通過一定的方法取構(gòu)，能轉(zhuǎn)變成一級(jí)構(gòu)造數(shù)列表達(dá)式的方法，我們稱為二級(jí)構(gòu)造。 模型 5：在數(shù)列 ??na 中，已知 1a ，且數(shù)列 ??na 滿足cadaa n nn ?? ? ?1 1（ 2?n ），求通項(xiàng)公式 na 。 三級(jí)構(gòu)造的數(shù)列表達(dá)式 1 第二章 簡(jiǎn)易構(gòu)造 13 一般地，形如1??? nn abaa （ 2?n ， a,b 為常數(shù)）的式子，我們稱為三級(jí)構(gòu)造數(shù)列表達(dá)式。 于是有： 122 2lglg 1 1 ????????? ?? ?? na aa an n ? ?2?n 于是得 出：13 32 1122??? ??nnna 當(dāng) 1?n 時(shí)， 313 32 00221 ???a，滿足13 32 1122??? ??nnna 所以數(shù)列 ??na 的通項(xiàng)公式為13 32 1122??? ??nnna 第三章 復(fù)合構(gòu)造 17 第三章 復(fù)合函數(shù) 特征方程構(gòu)造法 對(duì)于部分題型，我們可以引入特征方程進(jìn)行構(gòu)造，比如說：數(shù)列 ??na 滿足dca baaa nnn ??? ??11（ 2?n ， a、 b、 c、 d 為常數(shù)，且 0??bcad ），我們引入特征方程dcx baxx ??? ，化解可得： ? ? 02 ???? bxadcx ，假設(shè)解得方程的兩個(gè)根為 1x 、 2x ，若 21 xx? ，則可令211121 xa xacxa xannnn ????????，則數(shù)列 ?????? ??21xa xann 是以首項(xiàng)為2111 xa xa?? ，公比為 c 的等比數(shù)列；若 21 xx? ，則可令 cxaxa nn ???? ? 111 11，則數(shù)列?????? ?11xan是以首項(xiàng)為111xa? ，公差為 c 的等差數(shù)列，讓后帶入 1a ， 2a 的值可求得 c 值，進(jìn)而求出 na 。 例 4：在數(shù)列 ??na 中，已知 71?a ， 12?a ,且數(shù)列 ??na 滿足??? ??????nnnnnn bab baa 26711 ，求通項(xiàng)公式 na 。 知識(shí)點(diǎn)三：三級(jí)構(gòu)造 模型：1??? nn abaa ? ?2?n ，結(jié)論： caccacacba nn ???????????????? ?? ?2121111 ? ?2?n 第四章 總結(jié) 22 模型： ? ?baa aa n nn ?? ??12 1 ? ?2?n ，結(jié)論：122211211211??????????????????????nnbaabaaba n ? ?2?n 知識(shí)點(diǎn)四：特征方程 模型：dca baaa nnn ??? ??11 ? ?2?n ，特征方程：dcx baxx ??? 模型： nnn baaaa ?? ?? 12 ，特征方程： baxx ??2 特征函數(shù) 一般情況是根據(jù)數(shù)列表達(dá)式中項(xiàng)數(shù)的梯度來決定特征函數(shù)的次數(shù)，如題型 nnn baaaa ?? ?? 12 的特征方程為 baxx ??2 ， 當(dāng)然，不是說所有的特征方程都符合這一規(guī)律，比如說題型dca baaa nnn ??? ??11 ? ?2?n 的特征方程為 dcx baxx ??? 。對(duì)于第三章復(fù)合數(shù)列，在題型的難度上有所增加，其中講到了一種媒介物質(zhì) —— 特征函數(shù)，它是處理本章內(nèi)容的重要知識(shí)點(diǎn)，只有真正理解特征方程的來源，才能完全理解該類題型。內(nèi)容變更的路