【正文】 從內(nèi)容變更上， 大致經(jīng)歷了以下變更， 論文的選題經(jīng)過了一次變更，章節(jié)的設(shè)計經(jīng)過了兩次變更，內(nèi)容的構(gòu)造上經(jīng)過了兩次變更。 解：構(gòu)造新數(shù)列 ? ?nn ba ?? ，則有： ? ? ? ? ? ? ?????? ??????????? ?? nnnnnn bababa ?????? 7 26726711 令 ??? ??? 7 26 ，解得： 11?? 或 62 ??? 所以 數(shù)列 ? ?nn ba ?? 是首項為 11 ba ?? ， ??7 為公比的等比數(shù)列 即： ? ?? ? 111 7 ????? nnn baba ??? 當 11?? 時，有： nnn ba 8?? ..................................................? 當 11?? 時，有： 16 ?? nn ba ..................................................? 聯(lián)立 ?、 ?得： ??? ?? ?? 16 8nnnnnba ba 從而解得： 7 186 ??? nna， 7 18 ?? nnb 第四章 總結(jié) 21 第四章 總結(jié) 知識點總結(jié) 通過對構(gòu)造法在求數(shù)列通項公式中的應(yīng)用的研究，構(gòu)建了多種常用的相關(guān)模型，講述了不同題型的構(gòu)造思想的常規(guī)點和注重點，得出一系列有用的結(jié)論。 模型 7：在數(shù)列 ??na 中，已知 1a ，且數(shù)列 ??na 滿足1??? nn abaa （ 2?n ），求通項公式 na 。二級構(gòu)造在思維上增加了難度，但在對一級構(gòu)造的理解的基礎(chǔ)上來學(xué)習(xí)二級構(gòu)造，也是比較容易理解掌握的。 模型 1：在數(shù)列 ??na 中，已知 1a ，且數(shù)列 ??na 滿足 dcaa nn ?? ?1 （ 2?n ， c,d為常數(shù)），求通項公式 na 。馬爾科夫的工作使構(gòu)造性 方法進入了 “算法數(shù)學(xué) ”階段 ， 但是， 由于 這種構(gòu)造法依賴于遞歸函數(shù)理論的術(shù)語，使 得 這種算法數(shù)學(xué)外行人讀起來十分困難，加之馬爾科夫的后繼者們似乎對于算法數(shù)學(xué)實踐本身 沒有 對于復(fù)雜理論及其在計算機科學(xué)上的應(yīng)用更有興趣，使之算法數(shù)學(xué)由于缺乏合適的框架來進行數(shù)學(xué)實踐，而處于一種冬眠的狀態(tài)。 學(xué)習(xí)構(gòu)造法，最主要的是掌握其思想（構(gòu)造思想）方法，學(xué)會應(yīng)用，將構(gòu)造法的思維模式變成自己思考問題的模式之一。除了文中特別加以標注引用的內(nèi)容外，本論文（設(shè)計）不包含任何其他個人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫的成果。 在實習(xí)期間，我主要授課內(nèi)容是高一數(shù)列部分，通過與同學(xué)們的交流，我了解到學(xué)生在解決數(shù)列問題上存在的問題；通過與老師的交流，我得出了一些很好的解決方法，并形成了很多很好的結(jié) 論，比如說，對于等差數(shù)列和等比數(shù)列以及它們的前 n 項和所成的數(shù)列都是一些最特殊、最基本的數(shù)列，它們的通項公式用演繹法套公式解決，大多數(shù)學(xué)生都能掌握，而讓學(xué)生以及老師困惑的都是其他類型的數(shù)列。 馬爾科夫 用哥德爾數(shù)的辦法來處理 每個函數(shù) ，每個實數(shù) 代表 一個特定的遞歸函數(shù)等 來嚴格定義每一個概念 。一級構(gòu)造也稱為初級構(gòu)造，它是構(gòu)造法在數(shù)列中應(yīng)用的基礎(chǔ)，也就是說，在利用構(gòu)造法解決數(shù)列題型的問題中，最終都要將題型轉(zhuǎn)變成一級構(gòu)造的數(shù)列表達式形式，所以說，一級構(gòu)造是構(gòu)造初步，也是構(gòu)造法的核心。 ? 11 422 ?? ??? nnna 從而可得： 112 22 ?? ?? nnna 當 1?n 時， 1121 ???a ，滿足 112 22 ?? ?? nnna 所以數(shù)列 ??na 的通項公式為 112 22 ?? ?? nnna 通過觀察我們不難發(fā)現(xiàn)：我們將超一級構(gòu)造數(shù)列表達式 11 ?? ?? nnn dcaa 第二章 簡易構(gòu)造 9 （ 2?n ）兩邊同時除以 nd ，就可以將其轉(zhuǎn)化為一級構(gòu)造數(shù)列表達式 （ 11 ?? ?? nnn dcaa ?? ?? ? nd ddadcda nnnn 111 ??? ?? ????? ?? ????? dBdcAdab nn 1 BAbb nn ?? ?1 ），在引用重要結(jié)論就會很快得出答案，我們把這一類型稱為二級構(gòu)造（見下一節(jié)）。這使得構(gòu)造法在數(shù)列中體現(xiàn)得更加 完美。 解：由特征方程 652 ?? xx 解得： 21?x ， 32?x 于是有： ? ? ? ? 11211 32232 ??? ????? nnnnn aaaaaa ...................? ? ? ? ? 11211 23323 ??? ????? nnnnn aaaaaa ...................? ??得： ? ? ? ? 112112 2332 ?? ???? nnn aaaaa 所以： nnna 23?? 關(guān)于 ? ?? ???? ?? 0021 nn nn baf baf 的復(fù)合構(gòu)造 對于這一類型的復(fù)合數(shù)列，我們需要構(gòu)造一個新數(shù)列，使之等差或等比。本課題重點在第二章簡易數(shù)列和第三章復(fù)合數(shù)列，其中第二章設(shè)計了一級構(gòu)造、二級構(gòu)造和三級構(gòu)造，都屬于簡單的構(gòu)造題型，一級構(gòu)造是構(gòu)造思想的基礎(chǔ)，其中的題型 dcaa nn ?? ?1 （ 2?n ， c,d 為常數(shù)）和重點結(jié)論11 11 ???????? ??? ? c dcc daa nn（ 2?n ）是需要讀者注重記憶的，因為二 第四章 總結(jié) 24 級構(gòu)造、三級構(gòu)造以及更高級的構(gòu)造都可以逐步構(gòu)造最終轉(zhuǎn)換成一級構(gòu)造的形式，而題型 dcaa nn ?? ?1 （ 2?n ， c,d 為常數(shù)）是一級構(gòu)造中最常見的題型，記住該題型和結(jié)論可以減少計算量和簡化思維。我也希望此論文能在知識結(jié)構(gòu)，思維方式等各個方面上幫助到讀者朋友。 在內(nèi)容上，以高中數(shù)列難度來要求，所選模型均為高中經(jīng)常遇到的模型，具有代表性，比如一級構(gòu)造模型 dcaa nn ?? ?1 ? ?2?n ，作為數(shù)列構(gòu)造的基礎(chǔ)，多數(shù)模型構(gòu)造都會轉(zhuǎn)變?yōu)樵撃Ｐ?，在利用結(jié)論11 11 ???????? ??? ? c dcc daa nn ? ?2?n，最終得出結(jié)果。內(nèi)容變更的路線可以歸納為：“題型構(gòu)造 —— 模型構(gòu)造—— 模型結(jié)合題型構(gòu)造”，也可以歸納為：“數(shù)字研究 —— 字母研究 —— 字母結(jié)合數(shù)字研究”。 知識點三：三級構(gòu)造 模型：1??? nn abaa ? ?2?n ，結(jié)論： caccacacba nn ???????????????? ?? ?2121111 ? ?2?n 第四章 總結(jié) 22 模型： ? ?baa aa n nn ?? ??12 1 ? ?2?n ，結(jié)論：122211211211??????????????????????nnbaabaaba n ? ?2?n 知識點四：特征方程 模型：dca baaa nnn ??? ??11 ? ?2?n ，特征方程：dcx baxx ??? 模型： nnn baaaa ?? ?? 12 ，特征方程： baxx ??2 特征函數(shù) 一般情況是根據(jù)數(shù)列表達式中項數(shù)的梯度來決定特征函數(shù)的次數(shù)，如題型 nnn baaaa ?? ?? 12 的特征方程為 baxx ??2 ， 當然，不是說所有的特征方程都符合這一規(guī)律，比如說題型dca baaa nnn ??? ??11 ? ?2?n 的特征方程為 dcx baxx ??? 。 于是有： 122 2lglg 1 1 ????????? ?? ?? na aa an n ? ?2?n 于是得 出：13 32 1122??? ??nnna 當 1?n 時， 313 32 00221 ???a，滿足13 32 1122??? ??nnna 所以數(shù)列 ??na 的通項公式為13 32 1122??? ??nnna 第三章 復(fù)合構(gòu)造 17 第三章 復(fù)合函數(shù) 特征方程構(gòu)造法 對于部分題型，我們可以引入特征方程進行構(gòu)造，比如說：數(shù)列 ??na 滿足dca baaa nnn ??? ??11（ 2?n ， a、 b、 c、 d 為常數(shù)，且 0??bcad ），我們引入特征方程dcx baxx ??? ，化解可得： ? ? 02 ???? bxadcx ，假設(shè)解得方程的兩個根為 1x 、 2x ，若 21 xx? ，則可令211121 xa xacxa xannnn ????????，則數(shù)列 ?????? ??21xa xann 是以首項為2111 xa xa?? ，公比為 c 的等比數(shù)列；若 21 xx? ，則可令 cxaxa nn ???? ? 111 11，則數(shù)列?????? ?11xan是以首項為111xa? ，公差為 c 的等差數(shù)列，讓后帶入 1a ， 2a 的值可求得 c 值，進而求出 na 。 模型 5：在數(shù)列 ??na 中，已知 1a ，且數(shù)列 ??na 滿足cadaa n nn ?? ? ?1 1（ 2?n ），求通項公式 na 。 ? ? ? ? ? 1212 11111 ????????? ????????? nn cc ccac cc na 從而得出：? ? ? ?????? ??????????????????? ? 2,111111,21211nc cc ncc ccanaa nn ※ 結(jié)論 2：超一級構(gòu)造數(shù)列表達式 ncaa nn ?? ?1 （ 2?n ）的通項公式為： 第二章 簡易構(gòu)造 7 ? ? ? ?2121 11111 ???????????? ????? ? c cc ncc ccaa nn （ 2?n ） 例 2：在數(shù)列 ??na 中，已知 11?a ，且數(shù)列 ??na 滿足 naa nn ?? ?12 （ 2?n ），求通項公式 na 。比肖泊為構(gòu)造法建立了一個更為廣泛，更為完整的理論，他在馬爾科夫的基礎(chǔ)上解決了閱讀困難和數(shù)學(xué)實踐上存在的問題，體現(xiàn)出構(gòu)造法的靈活性、廣泛性和實用性，激發(fā)了人們對構(gòu)造思想的認可。 構(gòu)造法歷史進程大概可分為這樣三個階段：一是直覺數(shù)學(xué)階段， 德國的克隆尼克明確提出并強調(diào)了能行性， 并 主張沒有能行性就不得承認它的存在性 ，成為直覺數(shù)學(xué)階段的先驅(qū)者 。本文以常見的數(shù)列題型作為課題研究對象來探討構(gòu)造法在求數(shù)列通項公式中的應(yīng)用，其中涉及了簡易數(shù)列和復(fù)合數(shù)列兩大板塊，包含十一種常見模型。構(gòu)造法本身具有靈活性，應(yīng)用上具有廣泛性，是解決數(shù)學(xué)模型以及其他模型的一種重要方法。歷史上不少著名的數(shù)學(xué)家，如歐幾里德，高斯，歐拉，拉格朗日維爾斯特拉斯等，都曾利用構(gòu)造法成功解決過數(shù)學(xué)上的難題。為了讓 一般數(shù)學(xué)家容易看懂 ，他 采用數(shù)學(xué)上大家熟悉的習(xí)慣術(shù)語和符號 。 思想構(gòu)造：不妨設(shè) ? ?? ?BnAacBAna nn ?????? ? 11 即 ? ? cABcBnAcAcaa nn ?????? ? 1 又 ? ncaa nn ?? ?1 ? ??? ??? ?? 01cABcB AcA ? ? ???????????2111ccB cA ? ? ? ? ? ???????? ?????????? ?212 11111 c cacc