【正文】 13 一般地，形如1??? nn abaa （ 2?n ， a,b 為常數(shù)）的式子，我們稱為三級構(gòu)造數(shù)列表達式。這使得構(gòu)造法在數(shù)列中體現(xiàn)得更加 完美。 第二章 簡易構(gòu)造 12 思想構(gòu)造：將 1?? nn aba 兩邊取其對數(shù)，可得： baa nn lglg21lg 1 ?? ? 設(shè) nanb lg? ，則 bnn bb lg21 1 ?? ?（滿足一級構(gòu)造數(shù)列表達式） 由結(jié)論 1 得： ? ????????????????? ? 2,lg221lg21,111nbnbb bnbn 從而得出：??????????????? ??????? 2,1,1212121nbabnaa nn 例 6：在數(shù)列 ??na 中，已知 11?a ，且數(shù)列 ??na 滿足 12 ?? nn aa （ 2?n ），求通項公式 na 。 解：將32 1 1?? ? ?n nn a aa兩邊取其倒數(shù)，可得： 211231 1??? ?nn aa 設(shè)nn ab1? ，則 2123 1 ?? ?nn bb （滿足 一級構(gòu)造數(shù)列表達式） 由結(jié)論 1 得： 12321 ??????????nnb ? ?2?n 從而得出：21223 2?????nnnna ? ?2?n 當(dāng) 1?n 時， 1212111 ??a，滿足21223 2?????nnnna 所以數(shù)列 ??na 的通項公式為21223 2?????nnnna 二級構(gòu)造的數(shù)列表達式 3 (取對構(gòu)造 ) 一般的，形如 a nn aba 1?? （ 2?n ， a,b 為常數(shù)，且 0?b ）的式子，我們稱為二級構(gòu)造數(shù)列表達式。 模型 5：在數(shù)列 ??na 中，已知 1a ，且數(shù)列 ??na 滿足cadaa n nn ?? ? ?1 1（ 2?n ），求通項公式 na 。 思想構(gòu)造：將 11 ?? ?? nnn qpaa 兩邊同時除以 nq ，可得： qqaqpqa nnnn 111 ??? ?? 設(shè)nnn qab?，則qbqpb nn 11 ?? ?（滿足一級構(gòu)造數(shù)列表達式） 由結(jié)論 1 得：???????????????????????? ???? ? 2,111,111nqpqpqpbnbb nn 第二章 簡易構(gòu)造 10 從而得出：????? ??????????????? ? 2,1,111nqp qpqp qanaa nnn 例 4：在數(shù)列 ??na 中，已知 11?a ，且數(shù)列 ??na 滿足 11 23 ?? ?? nnn aa （ 2?n ），求通項 公式 na 。特殊地，當(dāng) p=1 時， ? ?nfpaa nn ?? ?1 （ 2?n ）等差。由于題型具有多變性，我僅以幾種常見的題型來 分析構(gòu)造法在數(shù)列中的應(yīng)用。 二級構(gòu)造 二級構(gòu)造是在一級構(gòu)造的基礎(chǔ)上進行討論的，也就是通過一定的方法取構(gòu)，能轉(zhuǎn)變成一級構(gòu)造數(shù)列表達式的方法，我們稱為二級構(gòu)造。 ? 11 422 ?? ??? nnna 從而可得： 112 22 ?? ?? nnna 當(dāng) 1?n 時， 1121 ???a ，滿足 112 22 ?? ?? nnna 所以數(shù)列 ??na 的通項公式為 112 22 ?? ?? nnna 通過觀察我們不難發(fā)現(xiàn)：我們將超一級構(gòu)造數(shù)列表達式 11 ?? ?? nnn dcaa 第二章 簡易構(gòu)造 9 （ 2?n ）兩邊同時除以 nd ，就可以將其轉(zhuǎn)化為一級構(gòu)造數(shù)列表達式 （ 11 ?? ?? nnn dcaa ?? ?? ? nd ddadcda nnnn 111 ??? ?? ????? ?? ????? dBdcAdab nn 1 BAbb nn ?? ?1 ），在引用重要結(jié)論就會很快得出答案，我們把這一類型稱為二級構(gòu)造（見下一節(jié)）。 ? 11 ??????? ????? nnn cdc dadc da ， ? ?2?n 從而可得： ?????? ????????????? ? 2,1,111ndc dcdc danaa nnn ※ 結(jié)論 3：超一級構(gòu)造數(shù)列表達式 11 ?? ?? nnn dcaa （ 2?n ）的通項公式為 ： dcdcdc daannn ???????? ??? ?11 ? ?2?n 例 3：在數(shù)列 ??na 中，已知 11?a ，且數(shù)列 ??na 滿足 11 24 ?? ?? nnn aa （ 2?n ），求通項公式 na 。 ? 1242 ????? nn na 從而得出： 22 1 ??? ? na nn 當(dāng) 1?n 時， 121221 ????a ，滿足 22 1 ??? ? na nn 所以數(shù)列 ??na 的通項公式為 22 1 ??? ? na nn 模型 3：在數(shù)列 ??na 中，已知 1a ，且數(shù)列 ??na 滿足 11 ?? ?? nnn dcaa （ 2?n ），求通項公式 na 。 ? ? ? ? ? 1212 11111 ????????? ????????? nn cc ccac cc na 從而得出：? ? ? ?????? ??????????????????? ? 2,111111,21211nc cc ncc ccanaa nn ※ 結(jié)論 2：超一級構(gòu)造數(shù)列表達式 ncaa nn ?? ?1 （ 2?n ）的通項公式為： 第二章 簡易構(gòu)造 7 ? ? ? ?2121 11111 ???????????? ????? ? c cc ncc ccaa nn （ 2?n ） 例 2：在數(shù)列 ??na 中，已知 11?a ，且數(shù)列 ??na 滿足 naa nn ?? ?12 （ 2?n ），求通項公式 na 。 模型 2：在數(shù)列 ??na 中，已知 1a ，且數(shù)列 ??na 滿足 ncaa nn ?? ?1 （ 2?n ），求通項公式 na 。 解： 不妨設(shè) ? ? ? ?AaAa nn ??? ?12 即 AAaa nn ??? ? 22 1 又 ? 12 1?? ?nn aa ? 12 ??AA 即： 1?A ? ? ? ? ?121 1??? ?nn aa ? 數(shù)列 ? ?1?na 是以 11?a 為 首項， 2 為公比的等比數(shù)列 ? nna 21?? 從而得出： 12 ?? nna 當(dāng) 1?n 時， 1121 ???a ，滿足 12 ?? nna 所以數(shù)列 ??na 的通項公式為 12 ?? nna 超一級構(gòu)造 在一級構(gòu)造表達式 dcaa nn ?? ?1 （ 2?n ， c,d 為常數(shù)）中， d 為常數(shù)，然而在很多數(shù)列題型 中， d 是一個關(guān)于 n 的函數(shù)，于是，我們把形如 ? ?nfcaa nn ?? ?1 （ 2?n ， c 為常數(shù)， f(n)為關(guān)于 n 的函數(shù)）的式子，我們稱為超一級構(gòu)造的數(shù)列表達式。 分析：不妨設(shè) ? ? ? ?AacAa nn ??? ?1 即 AcAcaa nn ??? ?1 又 ? dcaa nn ?? ?1 ? dAcA ?? 即 1??cdA ? ?????? ????????? ?? ? 11 1 cdaccda nn （驗證： ?????? ????????? ?? ? 11 1 c dacc da nn ? 111 ????? ? c dccdcaa n ? dcaa nn ?? ?1） ?數(shù)列 ?????? ?? 1cdan是以 11 ??cda為首項， c 為公比的等比數(shù)列 第二章 簡易構(gòu)造 5 ? 11 11 ??????? ????? nn ccdacda 從而得出：????? ????????????? ? 2,111,111nc dcc danaa nn ※ 結(jié)論 1（重點結(jié)論） : 一級構(gòu)造的數(shù)列表達式 dcaa nn ?? ?1 （ 2?n ， c,d 為常數(shù)）的通項公式為： 11 11 ???????? ??? ? cdccdaa nn（ 2?n ）。 注意： dcaa nn ?? ?1 （ 2?n ， c,d 為常數(shù)）是其中一種一級構(gòu)造的數(shù)列表達式，而不是唯一的一級構(gòu)造的數(shù)列表達式。一級構(gòu)造也稱為初級構(gòu)造，它是構(gòu)造法在數(shù)列中應(yīng)用的基礎(chǔ)，也就是說，在利用構(gòu)造法解決數(shù)列題型的問題中，最終都要將題型轉(zhuǎn)變成一級構(gòu)造的數(shù)列表達式形式，所以說，一級構(gòu)造是構(gòu)造初步，也是構(gòu)造法的核心。此外，拓?fù)鋵W(xué)，特別是維數(shù)理論，也是可以為構(gòu)造法的洞察力提供實例的數(shù)學(xué)分支，所以也是構(gòu)造數(shù)學(xué)有待 開發(fā)的新領(lǐng)域。因為圖的定義就是構(gòu)造性的，同時圖的許多應(yīng)用問題，如計算機網(wǎng)絡(luò)，程序的框圖，分式的表達式等，也都是構(gòu)造性很強的問題。比肖泊為構(gòu)造法建立了一個更為廣泛，更為完整的理論，他在馬爾科夫的基礎(chǔ)上解決了閱讀困難和數(shù)學(xué)實踐上存在的問題，體現(xiàn)出構(gòu)造法的靈活性、廣泛性和實用性，激發(fā)了人們對構(gòu)造思想的認(rèn)可。比肖泊擺脫了理論方法的不必要的依賴 ，跨越了 直覺數(shù)學(xué)的自我禁錮，避免 了對 直覺派的超數(shù)學(xué)原理 的 使用，超脫了對于形式體系的任何束縛，從而保留了進一步創(chuàng)新的余地 。他研究的課題 包含 測度論、泛函微積 和 對偶理論。 三是 現(xiàn)代構(gòu)造數(shù)學(xué)階段 ，自 1967 年比肖泊的書出版以后，構(gòu)造法進入 “現(xiàn)代 第一章 緒論 3 構(gòu)造數(shù)學(xué) ”階段。接著， 沙寧 通過對 各種古典理論在馬爾科夫算法數(shù)學(xué)中的模擬物 的研究， 能夠展述分析中象希爾伯特空間和勒貝格積分的構(gòu)造性理論。 馬爾科夫 用哥德爾數(shù)的辦法來處理 每個函數(shù) ，每個實數(shù) 代表 一個特定的遞歸函數(shù)等 來嚴(yán)格定義每一個概念 。 二是 算法數(shù)學(xué)階段 。另一 個強有力的倡導(dǎo)者是彭加勒，他主張所有的定義和證明都必須是構(gòu)造性的。 構(gòu)造法歷史進程大概可分為這樣三個階段：一是直覺數(shù)學(xué)階段， 德國的克隆尼克明確提出并強調(diào)了能行性， 并 主張沒有能行性就不得承認(rèn)它的存在性 ，成為直覺數(shù)學(xué)階段的先驅(qū)者 。 構(gòu)造法作為解決數(shù)學(xué)問題的重要思維方法，它沒有固定的思維方式，是以廣泛的普遍性和特殊性的現(xiàn)實問題為基礎(chǔ)，針對具體問題所呈現(xiàn)出來的特點而采取相應(yīng)的解決問題的辦法，應(yīng)用起來比較靈活，在解決數(shù)學(xué)問題，特別是數(shù)列問題上占 有重要地位。下面我主要對以下幾個方面對“構(gòu)造法在數(shù)列求通項公 式的應(yīng)用”進行展開討論。遇到問題，首先想到解決該問題需要哪些資源，從哪里可以獲得這些資源；其次要考慮獲得資源后，如何使這些資源得到合理利用，使其產(chǎn)生最大效益。 在論文的選題上，我主要依據(jù)以下兩點：一是在實習(xí)過程中對學(xué)生在數(shù)列上存在的問題有所了解，以及本人在數(shù)列求通項公式上有一定的知識積累；二是數(shù)列的實質(zhì)是按照一定的規(guī)律排 列成的一列數(shù)，描述這種規(guī)律的最簡單的形式是通