【正文】 ......26 致謝 ......................................................................................................27 引 言 1 引 言 構(gòu)造法作為數(shù)學(xué)的一種重要的思想方法，它一直伴隨著數(shù) 學(xué)的發(fā)展而成長(zhǎng)，構(gòu)造法的內(nèi)涵十分豐富，具有廣泛的適用性，在數(shù)學(xué)解題尤其是在高中數(shù)列解題中具有廣泛的應(yīng)用。在不斷探討過(guò)程中，我發(fā)現(xiàn)構(gòu)造法求通項(xiàng)公式是一種重要的有效方法，它比較靈活，可以通過(guò)構(gòu)造一個(gè)與原數(shù)列相關(guān)的新數(shù)列，轉(zhuǎn)化為具有特殊性質(zhì)的數(shù)列，從而找到解題的新方法。如果若干年后，你即使將學(xué)過(guò)的公式忘得一干二凈，最后頭腦中剩下來(lái)的還是構(gòu)造法的這種思維模式，則表明你抓住了構(gòu)造法的精髓。歷史上不少著名的數(shù)學(xué)家，如歐幾里德，高斯，歐拉，拉格朗日維爾斯特拉斯等，都曾利用構(gòu)造法成功解決過(guò)數(shù)學(xué)上的難題。近代構(gòu)造法的系統(tǒng)創(chuàng)立者是布勞威，他從哲學(xué)和 數(shù)學(xué)兩方面貫徹和發(fā)展了 “存在必須被構(gòu)造 ”的觀點(diǎn)。 他 用標(biāo)準(zhǔn)構(gòu)造性的方法，采納直覺(jué)派邏輯 ，他所形成的 是一種 即限制對(duì)象的類， 又 限制可容許證明方法的類的理論 。比肖泊 重新 建 立 現(xiàn)代分析的一個(gè)重要部分， 從而 激發(fā)了構(gòu)造法的活力。為了讓 一般數(shù)學(xué)家容易看懂 ，他 采用數(shù)學(xué)上大家熟悉的習(xí)慣術(shù)語(yǔ)和符號(hào) 。 同時(shí)，構(gòu)造法還可以 用于對(duì)經(jīng)典數(shù)學(xué)的概念、定理尋找構(gòu)造性解釋。 一級(jí)構(gòu)造的數(shù)列表達(dá)式 一般地，形如 dcaa nn ?? ?1 （ 2?n ， c,d 為常數(shù)）的式子，我們稱為一級(jí)構(gòu)造的數(shù)列表達(dá)式。 例 1：在數(shù)列 ??na 中，已知 11?a ，且數(shù)列 ??na 滿足 12 1?? ?nn aa （ 2?n ），求通項(xiàng)公式 na 。 思想構(gòu)造：不妨設(shè) ? ?? ?BnAacBAna nn ?????? ? 11 即 ? ? cABcBnAcAcaa nn ?????? ? 1 又 ? ncaa nn ?? ?1 ? ??? ??? ?? 01cABcB AcA ? ? ???????????2111ccB cA ? ? ? ? ? ???????? ?????????? ?212 11111 c cacc cc na nn （驗(yàn)證： ? ? ? ? ???????? ?????????? ?212 11111 c cacc cc na nn? ncaa nn ?? ?1 ） ? 數(shù)列 ? ? ?????? ???? 211 c cc na n 是以 ? ?21 111 ???? c cca為首項(xiàng)， c 為公比的等比數(shù)列。 思想構(gòu)造： 不妨設(shè) ? ?11 ?? ??? nnnn xdacxda 即 ? ?nnnn dcdxcaa ??? ?? 11 又 ? 11 ?? ?? nnn dcaa ? ? ? 11 ?? ?? nnn ddcdx 即 dcx ?? 1 ? ???????? ????? ?? dcdacdcda nnnn 11 第二章 簡(jiǎn)易構(gòu)造 8 （驗(yàn)證： ???????? ????? ?? dcdacdc da nnnn 11 ? 11 ?? ?? nnn dcaa ） ? 數(shù)列?????? ?? dcda nn 是以 dcda ??1 為首項(xiàng)， c 為公比的等比數(shù)列。需要注意的是，不是所有的超一級(jí)構(gòu)造都能轉(zhuǎn)變成一級(jí) 構(gòu)造，比如說(shuō)：超一級(jí)構(gòu)造數(shù)列表達(dá)式 ncaa nn ?? ?1 （ 2?n ）就不能轉(zhuǎn)變成一級(jí)構(gòu)造。 二級(jí)構(gòu)造的數(shù)列表達(dá)式 1（除法構(gòu)造） 一般的，形如 ? ?nfpaa nn ?? ?1 （ 2?n ， ??nf 是指數(shù)函數(shù)且 0?p ）的式子，我們稱為二級(jí)構(gòu)造數(shù)列表達(dá)式。 解：將 11 23 ?? ?? nnn aa 兩邊同時(shí)除以 n2 ，可得： 21223211??? ??nnnn aa 設(shè)nnn ab 2?，則 21231 ?? ?nn bb（滿足一級(jí)構(gòu)造數(shù)列表達(dá)式） 由結(jié)論 1 得： 123 ????????nna（ 2?n ） 從而得出： nnna 23 ?? （ 2?n ） 當(dāng) 1?n 時(shí)， 1231 ???a ，滿足 nnna 23 ?? 所以數(shù)列 ??na 的通項(xiàng)公式為 nnna 23 ?? 二級(jí)構(gòu)造的數(shù)列表達(dá)式 2 (取倒構(gòu)造 ) 一般的，形如cadaa n nn ?? ? ?1 1（ 2?n ， c,d 為常數(shù)且 0?d ）的式子，我們稱為二級(jí)構(gòu)造數(shù)列表達(dá)式。 模型 6：在數(shù)列 ??na 中，已知 1a ，且數(shù)列 ??na 滿足 1?? nn aba （ 2?n ），求通項(xiàng)公式 na 。以下是兩種典型的三級(jí)構(gòu)造模型。 第二章 簡(jiǎn)易構(gòu)造 14 解： 構(gòu)造假設(shè)： ? ?caa cca nnn ???? ?? 112 則： ? ?122??????nn acccca 又由題意： 112??? nn aa 相比較得： ? ?cc ?? 21 從而解得： 1?c 于是有： ? ? 111111 11 1 ?????? ?? ? nn nn aa aa 設(shè)11?? nn ab，則 11?? ?nn bb 所以數(shù)列 ??nb 是以 11211 ???b為首項(xiàng)， 1 為公差的等差數(shù)列，即： nbn? 從而得出： nnan 1?? （ 2?n ） 當(dāng) 1?n 時(shí)， 21111 ???a，滿足 nnan 1?? 所以數(shù)列 ??na 的通項(xiàng)公式為 nnan 1?? 三級(jí)構(gòu)造數(shù)列表達(dá)式 2 一般地，形如 ? ?baa aa n nn ?? ??12 1 （ 2?n ， a,b 為常數(shù)，且 0?a ）的式子，我們稱為三級(jí)構(gòu)造數(shù)列表達(dá)式。 解： 構(gòu)造假設(shè)： ? ?12 22 1 12 1? ???? ? ?? n nnn a ccaaca 假設(shè) c=2,可得： ? ?? ?12 22 121???? ??nnn aaa......................................? 由題意： ? ?12 121?? ??nnn aaa ...............................................? ?/?得： 211 22 ???????? ?????nnnn a aa a 兩邊取對(duì)數(shù)： 22 1 1lg2lg ?? ? ?? n nn n aaaa 第二章 簡(jiǎn)易構(gòu)造 16 所以數(shù)列?????????? ?2lgnnaa 是以 3lg 為首項(xiàng)， 2 為公比的等比數(shù)列。 分析：不放設(shè)特征方程 baxx ??2 的兩個(gè)根為 1x ， 2x 1. 當(dāng) 121 ??xx 時(shí)，數(shù)列 ??na 等差 ? ?? ?121 1 aanaa n ???? 2. 當(dāng) 121 ??xx 時(shí)，不妨設(shè) 021 xxx ?? 則： ? ?10001 ?? ??? nnnn axaxaxa ? ? 10102 ??? nxaxa 即： ? ? 1010201 ?? ??? nnn xaxaaxa 兩邊同時(shí)除以 10?nx 得： ? ?1022021 1 axaxaxa nnnn ??? ??? 所以數(shù)列 ?????????20nnxa 是以101?xa為首項(xiàng)， 12 axa o? 為公差的等差數(shù)列 ? ?? ?10210 120 1 axanxax ann ???? ?? 從而解得： ? ?? ? 20212101 1 ?? ???? nnn xaxanxaa 3. 當(dāng) 21 xx? 時(shí)， ? ? ? ? 1211211211 ??? ????? nnnnn xaxaaxaxaxa ................? ? ? ? ? 1112212121 ??? ????? nnnnn xaxaaxaxaxa ................? 由 ??得： ? ? ? ? ? ? 111221211212 ?? ????? nnn xaxaxaxaaxx 從而解得： ? ? ? ?121112212112xx xaxaxaxaannn ? ?????? 第三章 復(fù)合構(gòu)造 19 4. 當(dāng)特征方程無(wú)解時(shí)，該數(shù)列無(wú)意義。比如說(shuō)：對(duì)于復(fù)核數(shù)列??? ??????nnnnnn dbcab bbaaa11 求通項(xiàng) na ， nb ，我們可以構(gòu)造新數(shù)列： 第三章 復(fù)合構(gòu)造 20 ? ?nn ba ?? ，即 ? ? ? ? ? ? ?????? ??????????? ?? nnnnnn bca dbacabdbacaba ?????? 11 ，在令ca db ??? ??? ，即 ? ? 02 ???? bda ?? ，求出 ? 的值，而 ? ?? ?nnnn bacaba ??? ???? ?? 11構(gòu)成了以 11 ba ?? 為首項(xiàng)， ca ?? 為公比的等比數(shù)列，進(jìn)而求出 na ， nb 。下面我對(duì)本課題涉及到的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行總結(jié)，讓讀者能很快的了解本課題的內(nèi)容，以及能有效的抓住本課題的重點(diǎn)內(nèi)容。 分別應(yīng)用了除法構(gòu)造，取到構(gòu)造和取對(duì)構(gòu)造。其中通過(guò)字母代替數(shù)字，將特殊性轉(zhuǎn)換成一般性，也得出了許多很重要的公式和 思維構(gòu)造方法。同時(shí)，對(duì)二級(jí)構(gòu)造和三級(jí)構(gòu)造中的相關(guān)題型和結(jié)論的熟練掌握，有利于提升構(gòu)造思維，在面對(duì)一些陌生的數(shù)列題型時(shí)，可以有依靠，也就是有思路，因?yàn)闃?gòu)造法就是把陌生的題型轉(zhuǎn)化為熟悉的模型，多掌握一種題型就多有一種思維方法。我的論文屬于自主命題，剛開(kāi)始我的論文題目是“構(gòu)造法在數(shù)列中的應(yīng)用”，內(nèi)容上設(shè)計(jì)了數(shù)列求通項(xiàng)公式、數(shù)列求和、差次數(shù)列和高次數(shù)列四個(gè)板塊，但在 撰寫的過(guò)程中，我發(fā)現(xiàn)內(nèi)容太多，不利于突出重點(diǎn)， 如果在細(xì)節(jié)上進(jìn)行簡(jiǎn)化，就體現(xiàn)不出構(gòu)造法的精髓，本論文也就失去了研究的價(jià)值，同時(shí)，在解決數(shù)列求和、差次數(shù)列和高次數(shù)列與數(shù)列求通項(xiàng)公式的構(gòu)造方法上有異曲同工之處，所以，我決定在內(nèi)容上簡(jiǎn)化，只研究數(shù)列求通項(xiàng)公式；在細(xì)節(jié)上加工，注重體現(xiàn) 構(gòu)造法的應(yīng)用，將題目改為“構(gòu)造法在求數(shù)列通項(xiàng)公式中的應(yīng)用”。 第三，內(nèi)容的變更。我以求數(shù)列通項(xiàng)公式來(lái)討論構(gòu)造法，以點(diǎn)帶面來(lái)講述構(gòu)造思想，講解中完整的體現(xiàn)了題型中利用構(gòu)造法解題的構(gòu)造思想，能表達(dá)出構(gòu)造法的精髓，例舉的題型也是較簡(jiǎn)單的和較常用的，通過(guò)認(rèn)真思考是可以理解和掌握的，適合大多數(shù)人閱讀。下面我對(duì)本文在編寫過(guò)程中的幾點(diǎn)考慮作些說(shuō)明。在計(jì)算的過(guò)程中，可以直接通過(guò)結(jié)論得出結(jié)果，簡(jiǎn)化了計(jì)算過(guò)程，同時(shí)，通過(guò)對(duì)模型的記憶，可以增強(qiáng)做題人的構(gòu)造思維，因?yàn)闃?gòu)造法是需要一定的模型作為構(gòu)造基礎(chǔ)的。 基于上述的考慮，我將內(nèi)容分章編寫，設(shè)計(jì)為緒論、簡(jiǎn)易構(gòu)造、 復(fù)合構(gòu)造和總結(jié)四個(gè)章節(jié)，其中，第一章緒論是介紹構(gòu)造法的歷史和構(gòu)造法對(duì)未來(lái)的發(fā)展，第四章總結(jié)是對(duì)本文知識(shí)點(diǎn)和課題研究?jī)煞矫娴目偨Y(jié)，使讀者對(duì)本文所涉及的內(nèi)容能更快的了解，第二章簡(jiǎn)易構(gòu)造和第三章復(fù)合構(gòu)造是本文的重點(diǎn)，包含了所有構(gòu)造模型、思維方法和得出